IIA

왜 배우는가: 비관련대안의 독립성은 로짓 계열 모형으로 수단분담을 예측할 때 결과를 왜곡할 수 있는 구조적 가정이라 실무 수요추정 결과를 검토할 때 반드시 확인해야 한다. 정의, 문제점, 해결방안을 한 묶음으로 묻는 논술형 문제로 반복해서 나오므로 흐름을 함께 익혀야 한다.

출제 이력: 제134회 2교시 5번, 제119회 1교시 5번, 제110회 2교시 6번

1. 한 줄 정의와 핵심 키워드

비관련대안의 독립성(IIA)은 다항로짓모형에서 두 대안의 선택확률 비가 제3의 대안 유무와 무관하게 일정한 성질이다.

이 문장이 답안 첫 줄에 들어가는 정의다. 정의에는 두 가지 핵심이 있다. 첫째는 비교 대상이 되는 두 대안의 선택확률 비율이다. 둘째는 그 비율이 다른 대안이 추가되거나 제거되어도 변하지 않는다는 점이다. 이 두 가지를 함께 기억해야 문제점과 해결방안을 자연스럽게 이어 쓸 수 있다.

비관련대안의 독립성은 이름만 보면 관련 없는 대안이 선택에 영향을 주지 않는다는 뜻으로 읽히지만, 실제로는 로짓 계열 모형이 가진 구조적 가정이다. 모형 자체가 대안 간 상관을 0으로 둔다는 뜻이므로 관측 자료의 성질로 판단하면 안 된다. 이 점을 혼동하면 문제점을 설명할 때 논리가 흐려진다.

답안 첫 줄은 정의 문장으로 시작하고, 둘째 줄에서 성립 조건을 식으로 한 줄 제시하면 정의 항목과 원리 항목을 동시에 충족한다.

핵심 키워드

• 비관련대안의 독립성(IIA)
• 다항로짓모형(MNL)
• 선택확률 비
• 무관한 대안
• 비례 대체
• 대안 추가·제거
• 중첩로짓모형(NL)
• 혼합로짓모형

2. 개념 풀이

쉬운 말로 풀면, 새로운 교통수단이 생겨도 기존 수단끼리의 선택 비율은 그대로 유지된다는 뜻이다. 가상의 예로 승용차와 지하철 중 하나를 고르던 통행자에게 자전거 수단이 새로 생긴다고 하자. 이때 승용차와 지하철의 상대적 비율은 자전거와 무관하게 정해진다고 가정하는 것이 IIA 다.

정식 정의는 다음과 같다. Independence of Irrelevant Alternatives(IIA)는 선택 집합에 제3의 대안 k가 포함되거나 제외되어도 두 대안 i, j의 선택확률 비가 변하지 않는 성질이다. 다항로짓모형의 선택확률식은 다음과 같다.

$P_{ni} = \frac{e^{V_{ni}}}{\sum_{j \in C_n} e^{V_{nj}}}$

위 식에서 P_{ni}는 개인 n이 대안 i를 고를 확률(무차원), V_{ni}는 개인 n이 대안 i에서 얻는 확정 효용(효용 단위), C_n은 개인 n의 선택 집합이다. 분모는 선택 집합에 속한 모든 대안의 지수 효용 합이다.

두 대안의 비를 구하면 분모가 약분된다.

$\frac{P_{ni}}{P_{nj}} = \frac{e^{V_{ni}}}{e^{V_{nj}}} = e^{V_{ni}-V_{nj}}$

결과식의 오른쪽에는 두 대안의 효용만 남고 제3의 대안 k 항이 없다. 이것이 IIA가 성립하는 수학적 이유다. 따라서 선택 집합이 바뀌어도 i와 j의 비는 그대로다.

핵심 용어는 두 가지다. 오차항의 독립성은 대안별로 관측되지 않은 오차항이 서로 상관이 없다는 가정이며, 이 가정이 IIA를 낳는 근본 원인이다. 이 조건은 오차항 독립(i.i.d.)의 형태로 쓴다. 비례 대체는 한 대안이 제거될 때 그 이용자가 남은 대안에 기존 점유율 비율대로 흩어지는 패턴을 가리킨다.

IIA는 모형 구조에서 나오는 성질이지, 관측 자료에서 확인된 사실이 아니다. 이 점을 답안에 명확히 쓰면 개념 이해가 드러난다. 이 성질은 Luce의 선택공리 가운데 첫 번째 공리로 알려져 있다.

3. 등장 배경과 필요성

다항로짓모형은 선택확률이 닫힌 형태로 계산되고, 효용 함수의 계수를 추정하기 쉬워 수단선택 모형의 기본 도구로 널리 쓰였다. 계산이 간단하다는 장점이 실무에서 많이 채택된 이유다. 그러나 그 편리함은 IIA 가정에서 나온다. 가정이 맞지 않는 상황에서는 예측 결과가 실제 행태와 어긋난다.

실제 교통 행태에서는 비슷한 대안끼리 더 강하게 경쟁하는 경우가 많다. 예를 들어 같은 버스 계열 수단끼리는 서로 대체 관계가 강하고, 승용차와 대중교통은 상대적으로 약하다. 로짓모형은 이런 유사성을 반영하지 못하고 모든 대안에서 비례적으로 이용자를 빼앗는다고 계산한다.

가상의 예를 보자. 승용차 이용자 상대로 카풀과 환승 주차 수단이 함께 있을 때, 새로 추가된 환승 주차 수단은 실제로는 카풀 이용자를 주로 끌어가야 한다. 그런데 IIA를 가정한 로짓 모형은 카풀과 승용차 단독 이용자에게서 비슷한 비율로 빠져나온다고 계산한다. 이렇게 되면 수단별 분담률과 노선 수요가 왜곡된다. 수요 예측 결과를 근거로 투자 여부를 정하는 교통계획에서 이 왜곡은 곧 경제성 평가의 오류가 된다.