변단면 기둥 좌굴하중

정의

변단면 기둥은 위치에 따라 단면이 달라지는 기둥이다.

좌굴하중은 기둥이 옆으로 휘기 직전의 임계 축하중이다.

단면이 바뀌면 정해를 구하기 어려워 에너지법으로 근사한다.

에너지 두 항의 균형

좌굴은 굽힘 변형에너지 U와 축력이 한 일 W의 균형으로 본다.

포텐셜 에너지 Π는 U에서 W를 뺀 값이다.

Π의 정류 조건을 적용하면 임계하중 식이 나온다.

계산 절차

절차는 먼저 구간별 단면 2차모멘트와 탄성계수를 정리하는 것이다.

다음으로 경계조건을 만족하는 변위 함수를 가정하고 에너지를 계산한다.

두 항의 정류 조건을 적용하고 미지수 α를 소거한다.

마지막으로 α가 사라진 식에서 임계하중이 남는다.

등단면 검산

균일 단면이면 I(x)가 상수 I가 되어 적분이 쉬워진다.

sin²와 cos²의 적분은 둘 다 L/2로 같아 약분된다.

그 결과 임계하중은 π²EI/L²이 되며 오일러 식과 일치한다.

헷갈리는 점과 시험

첫째, 변단면에서 단면 2차모멘트를 상수로 취급하는 실수가 많다.

둘째, 최소 단면 2차모멘트를 대표값으로 쓰면 임계하중이 과소평가된다.

셋째, 임계하중은 단면 2차모멘트에 비례하고 길이의 제곱에 반비례한다.

기출은 두 기둥의 좌굴하중 비율을 구하는 계산형으로 나왔다.

직접 풀기

방금 배운 비례 관계를 직접 적용해 보자.

기둥 길이를 2배로 늘린다. 임계하중은 몇 배가 되는지 구해 보자.

정답 확인과 정리

정답은 1/4배다. 길이가 2배가 되면 임계하중은 1/4로 줄어든다.

임계하중은 재료 강도와 무관하고 E, I, 길이로 정해진다.

변단면 기둥은 대부분 에너지법으로 근사해를 구한다.

이 방법으로 구한 값은 실제 좌굴하중과 어떤 관계인지 생각해 보자.