레일리 감쇠 모델

레일리 감쇠의 정의

레일리 감쇠는 질량행렬과 강성행렬의 선형 결합으로 감쇠행렬을 가정하는 비례감쇠 모델이다.

구조물의 감쇠는 여러 원인이 섞여 있어 감쇠행렬을 요소 단위로 정의하기 어렵다.

그래서 계수 두 개만 정하면 되는 간편한 모델을 쓴다.

구성요소와 감쇠비 식

구조물 전체의 감쇠는 질량 비례 항과 강성 비례 항을 더해 만든다.

질량 비례 항은 낮은 진동수에서, 강성 비례 항은 높은 진동수에서 감쇠에 크게 기여한다.

모드별 감쇠비는 이 식으로 구한다. 주기가 긴 모드는 a0가, 짧은 모드는 a1이 주로 키운다.

두 항의 역할을 구분해 답안에 쓰는 것이 핵심이다.

두 기준 주기로 계수 정하기

먼저 두 기준 주기를 정한다. 보통 1차 모드와 질량참여계수가 큰 모드를 쓴다.

각 주기는 ω = 2π/T로 바꾼다. 예를 들어 T1은 2.0초, T2는 1.0초로 둔다.

두 기준 모드에 같은 목표 감쇠비 5%를 주고 연립식을 푼다.

그 결과 a0, a1이 나오고, 이를 대입해 감쇠행렬 C를 구성한다.

사이 구간과 바깥 구간

비교표를 보면 두 주기 지정 방식은 두 점에서 감쇠비가 정확하다.

두 지정 주기 사이의 모드는 감쇠비가 목표값보다 작게 평가된다.

지정 주기 바깥의 모드는 감쇠비가 과대 평가되어 응답을 지나치게 억제할 수 있다.

계산 예제

예제를 본다. 두 고유 주기 T1 = 2.0초, T2 = 1.0초에서 감쇠비 5%로 가정한다.

각진동수는 ω1 = π, ω2 = 2π rad/s가 된다.

두 기준 주기에서 감쇠비가 5%가 되도록 식을 세운다.

두 식을 연립하면 a0, a1이 결정되고, 이 계수로 다른 주기의 감쇠비를 구할 수 있다.

직접 풀기

이제 직접 풀어 보자. 기준 주기는 1.0초와 2.0초, 목표 감쇠비는 5%다.

구하려는 주기는 1.5초다. 이 값이 두 기준 주기 사이에 있는지 본다.

답을 고른 뒤 다음 장면에서 풀이를 확인한다.

정답과 정리

정답은 사이 구간이다. 이 구간에서 감쇠비는 목표값보다 작게 나온다.

정리하면 레일리 감쇠는 질량과 강성의 선형결합이고, 두 주기에서 계수를 연립해 정한다.

시험에서는 계수 식과 사이·바깥 구간 판단을 함께 쓴다.