단면2차모멘트

단면2차모멘트란

단면2차모멘트는 단면이 휨에 얼마나 버티는지를 나타내는 기하학적 양이다.

각 미소면적에 기준축까지 거리의 제곱을 곱해 전체 면적에 대해 적분한다.

단위는 mm⁴이며, 같은 면적이라도 재료가 멀리 있을수록 값이 커진다.

평행축 정리

임의의 평행축에 대한 값은 도심축 값에 A d²를 더해 구한다.

A는 단면적, d는 두 축 사이의 거리다. 두 축이 떨어질수록 값은 커진다.

그래서 도심축 값은 임의축 값 가운데 가장 작다.

기준축이 도심과 다르면 먼저 도심축 값을 구한 뒤 보정한다.

직사각형 예제

직사각형의 도심축 값은 bh³/12다. 폭 b와 높이 h를 대입한다.

b=200 mm, h=400 mm를 대입하면 약 1.07×10⁹ mm⁴이다.

밑변 축은 도심에서 h/2=200 mm 떨어져 있으므로 평행축 정리를 적용한다.

그 결과 밑변 축 값은 약 4.27×10⁹ mm⁴가 된다.

단면상승모멘트와 주축

단면상승모멘트는 서로 직교하는 두 축에 대해 정의한다.

단면이 한 축에 대해 대칭이면 0이 된다. 대칭이 없는 L형은 0이 아니다.

상승모멘트가 0이 되는 한 쌍의 직교축이 주축이며, 여기서 최대와 최소 값이 나온다.

주단면2차모멘트는 모어원 식으로 구하고, 주축 방향각 θp는 tan 2θp 식으로 구한다.

흔한 실수와 채점 포인트

가장 흔한 실수는 도심을 구하지 않고 임의의 기준선에서 바로 계산하는 것이다.

복합 단면은 부분의 도심을 먼저 구하고, 전체 도심에서 평행축 정리를 적용한다.

d는 원점 좌표가 아니라 도심 좌표 차이다. 비대칭 단면의 I_xy를 0으로 두면 안 된다.

채점에서는 평행축 정리, 단면상승모멘트, 주축 각도가 빠지면 감점이 크다.

정리

정리하면 단면2차모멘트는 축에서 떨어진 거리의 제곱에 면적을 곱해 적분한 값이다.

임의축 값은 평행축 정리로, 주축 값은 도심축 값과 상승모멘트로 구한다.

도심 위치를 먼저 확정하는 것이 모든 계산의 출발점이다.