강성행렬 요소

요소강성행렬의 정의

요소강성행렬은 부재 하나가 끝점에서 얼마만큼 힘을 버티는지 나타내는 행렬이다.

절점력 벡터 F와 절점변위 벡터 u 사이의 관계를 F=Ku로 적는다.

이 식은 탄성 거동을 가정한 선형 관계식이다. 여기서 K가 요소강성행렬이다.

축강성과 국부 강성행렬

축방향 강성은 k = EA / L 이다. E는 탄성계수, A는 단면적, L은 부재 길이다.

국부좌표계에서 2자유도 축방향 요소의 강성행렬은 k와 -k를 원소로 갖는다.

이 값을 방향여현으로 좌표변환하면 전체좌표계의 요소 강성행렬이 된다.

변환 순서는 [K] = [T]^T [k] [T]이다. 변환행렬 [T]는 방향여현으로 구성된다.

방향여현과 변환행렬

부재축이 전체 X축과 이루는 각을 θ라 하자. 방향여현은 λ=cosθ, μ=sinθ이다.

방향여현은 부재의 기울기를 나타내는 수치다. 값의 범위는 -1부터 1까지다.

국부좌표계의 힘을 전체좌표계 성분으로 나누면 λ와 μ가 곱해진다.

그래서 변환행렬 [T]는 λ와 μ로 구성되며, 이것이 좌표변환의 핵심이다.

4×4 요소강성행렬

전개하면 4×4 요소강성행렬이 나온다. 원소는 λ, μ와 EA/L로 표현된다.

이 행렬은 대칭이다. 행과 열의 합이 0이라 강체이동에서는 힘이 생기지 않는다.

대각 원소는 같은 자유도 방향의 직접 강성이다.

비대각 원소는 서로 다른 자유도 사이의 연성 강성이다.

계산 예제

예제로 길이 4 m, 단면적 2.0×10⁻³ m², 탄성계수 2.0×10⁵ MPa 트러스 요소를 보자.

먼저 EA를 구하면 4.0×10⁸ N이다. 여기에 L=4 m를 나누면 축강성은 1.0×10⁸ N/m이다.

θ=30°이면 λ=0.866, μ=0.5이다. 첫 원소는 λ²를 곱해 7.5×10⁷ N/m가 된다.

λ²+μ²를 직접 구해 보자. 두 값을 더한 결과를 생각해 본다.

시험 포인트와 정리

시험에서는 용어형과 논술형으로 나뉘어 출제된다.

용어형은 원소의 물리적 의미를, 논술형은 유도 과정을 묻는다.

감점을 줄이려면 대칭성 확인과 방향여현의 부호 기준을 답안에 적는다.

요소강성행렬은 전체 강성행렬을 조립하는 출발점이다.