강성행렬법(직접강성법)

강성행렬법이란

강성행렬법은 절점 변위를 미지수로 하는 변위법이다.

구조물을 부재와 절점으로 나눈 뒤 평형식 하나를 행렬로 푸는 방법이다.

미지수는 절점의 변위와 회전각이며, 실무 구조해석 프로그램의 기본 원리다.

해석 절차

해석은 부재와 절점을 나누고, 요소마다 요소강성행렬을 만드는 데서 시작한다.

경사 부재는 좌표 변환으로 전역좌표 강성을 구한 뒤 절점 번호에 맞춰 중첩한다.

지점 변위는 0으로 두고, 해당 행과 열을 지워 감차행렬을 만든다.

감차행렬을 풀어 미지 변위를 구하고, 단부력 식으로 반력과 부재력을 계산한다.

보 요소의 강성 항

2절점 평면 보 요소는 절점마다 처짐과 회전각 두 개씩, 전체 네 개의 자유도를 가진다.

휨 강성 EI와 길이 L이 요소 강성의 계수를 결정하며, 12EI/L³가 대표 항이다.

대칭성 때문에 독립된 항은 여섯 개뿐이다. 나머지는 같은 구조를 따른다.

요소 종류 비교

요소 종류에 따라 강성행렬의 크기와 주요 저항 성분이 달라진다.

보 요소는 축력을 무시하므로 4×4 행렬을 쓴다. 처짐과 회전각만 고려한다.

트러스 요소는 휨을 무시해 축방향 강성만 남는다.

골조 요소는 축력과 휨을 합친 6×6 행렬을 쓴다. 직접 강성법은 프로그램화에 유리하다.

계산 예제

양단 고정 보의 중앙에 집중하중 P가 작용하는 경우를 풀어 본다.

요소를 둘로 나누어 강성행렬을 조립하고 중앙 처짐 방정식을 세운다.

하중 벡터에 P를 넣고 역행렬로 해를 구하면 중앙 처짐이 나온다.

중앙 처짐은 v = PL³/192EI 가 된다. 단위도 길이로 맞다.

결과는 보의 길이에 비해 작은 값이라 상식 범위에 있다.

흔한 실수와 경계조건

가장 많은 감점은 경계조건 처리 누락이다.

지지되지 않은 자유도를 그대로 두면 강성행렬이 특이해져 해가 나오지 않는다.

트러스 요소는 방향이 바뀌면 부호와 위치가 함께 바뀌므로 주의한다.

정리

정답은 강성행렬이 특이해진다. 지지가 부족하면 해가 구해지지 않는다.

강성법은 절점변위를 미지수로 하고, 요소강성에서 감차행렬 풀이까지 순서대로 진행한다.

변위를 구한 뒤 부재력은 F=[k]u로 계산한다. 이것이 강성행렬법의 전체 흐름이다.