Terzaghi 압밀방정식

정의와 핵심 개념

Terzaghi 압밀방정식은 포화된 점성토층에서 과잉간극수압이 소산되는 과정을 1차원으로 나타낸 편미분방정식이다.

핵심은 과잉간극수압, 압밀계수, 시간계수, 최대 배수거리, 압밀도다.

이 다섯 용어가 식과 계산에서 어떻게 연결되는지 차례로 본다.

물이 빠져야 줄어드는 점토

점토는 입자가 작아 투수계수가 낮다. 그래서 하중을 받으면 간극수가 빠지는 데 시간이 걸린다.

하중 직후에는 물이 하중을 떠받치고, 물이 빠지면서 흙 알갱이가 하중을 떠맡는다.

이 과정이 과잉간극수압의 소산과 유효응력의 증가이며, 이를 수식으로 나타낸 것이 압밀방정식이다.

좌변은 과잉간극수압의 시간 변화, 우변은 깊이 방향 변화를 나타낸다.

cv가 클수록, 즉 투수성이 좋고 압축성이 작을수록 압밀은 빨리 진행된다.

배수거리와 시간계수

Terzaghi 식의 시간계수 Tv는 시간을 배수거리 제곱으로 나눈 무차원수다.

배수거리 Hdr은 물이 배수층까지 흘러야 하는 가장 긴 거리다.

단면배수는 Hdr이 층 두께 H와 같고, 양면배수는 Hdr이 H의 절반이다.

Hdr이 절반이면 Tv는 4배가 되어 시간이 약 1/4로 줄어든다. 배수거리 계산을 잘못하면 결과가 크게 틀어진다.

압밀도와 근사식

압밀도 U는 현재까지 소산된 과잉간극수압 또는 침하량의 비율이다.

U가 60% 이하이면 Tv = (π/4)U² 근사식을, 60%를 넘으면 로그 식을 쓴다.

압밀도 50%에 대응하는 시간계수는 0.197, 95%에 대응하는 값은 1.129이다.

직접 풀어 보자. 양면배수 층의 두께가 4m이면 배수거리는 얼마인가?

계산 예제

하부가 불투수층이므로 단면배수다. 배수거리 Hdr은 두께 4m와 같다.

재하 2년 후의 시간계수는 Tv = 1.5 × 2 / 4² = 0.1875다.

Tv가 0.6보다 작으므로 근사식을 쓴다. U = √(4Tv/π)로 구하면 약 48.9%다.

따라서 침하량은 최종침하 100 mm의 48.9%인 약 48.9 mm다.

앞 문제의 정답은 2m다. 양면배수이면 배수거리는 두께의 절반이다.

시험 포인트 정리

시간계수는 시간을 배수거리 제곱으로 나눈 무차원수다.

압밀도 60% 이하는 π/4 근사식, 60%를 넘으면 로그 식을 쓴다.

양면배수에서 배수거리를 층 두께 그대로 잡으면 시간이 크게 틀어진다.

이론은 cv가 일정하고 2차압밀을 무시하므로 침하속도 예측에 오차가 크다.

채점에서는 계산과 함께 가정의 한계를 설명하는 답안이 높이 평가된다.