Terzaghi 압밀방정식

왜 배우는가: Terzaghi 압밀방정식은 점토지반의 침하량이 시간에 따라 어떻게 진행되는지 예측하는 기본식이다. 실무에서는 연약지반 위 성토와 구조물의 침하시간을 판단하는 데 쓰이고, 시험에서는 압밀계수와 시간계수를 이용한 침하 시간 계산 문제로 반복해서 나온다.

출제 이력: 제122회 3교시 2번, 제118회 1교시 7번

1. 한 줄 정의와 핵심 키워드

Terzaghi 압밀방정식은 포화된 점성토층에서 과잉간극수압이 소산되며 유효응력이 증가하는 시간 경과를 1차원으로 나타낸 편미분방정식이다.

핵심 키워드는 다음과 같다.

• 과잉간극수압
• 압밀계수(cv)
• 시간계수(Tv)
• 최대 배수거리(Hdr)
• 압밀도(U)
• 1차원 압밀
• 유효응력

답안 첫 줄에는 위 정의 문장을 그대로 쓰고, 이어서 식의 기호와 시간계수를 연결해 설명하면 된다.

2. 개념 풀이

쉽게 말하면 점토는 물이 빠져나가야 줄어든다. 하중을 받은 직후에는 물이 하중의 대부분을 떠받치고, 시간이 지나 물이 빠지면서 흙 알갱이가 하중을 떠맡는다. 이때 물이 빠지는 속도가 느릴수록 침하는 오래 걸린다. Terzaghi 압밀방정식은 이 시간 변화를 수식으로 나타낸 것이다.

정식으로 정의하면, 포화된 흙 요소에서 연속조건과 Darcy 법칙을 결합해 얻은 1차원 압밀 방정식이다. 과잉간극수압 u가 깊이 z와 시간 t에 따라 변하는 관계를 다음과 같이 쓴다.

$\frac{\partial u}{\partial t}=c_v\frac{\partial^2 u}{\partial z^2}$

• u: 과잉간극수압(kPa)
• t: 경과 시간(s, day 등 일관된 단위)
• z: 배수 방향의 깊이(m)
• cv: 압밀계수(㎡/s 또는 ㎠/s)

여기서 압밀계수는 투수성과 압축성을 한 값에 묶은 토질정수다. 투수계수 kv가 클수록, 체적압축계수 mv가 작을수록 커진다. 이 관계는 다음 식으로 나타낸다.

$c_v=\frac{k_v}{m_v\gamma_w}$

• kv: 연직 투수계수(m/s)
• mv: 체적압축계수(㎡/kN)
• γw: 물의 단위중량(kN/㎥)

압밀계수의 차원은 길이²/시간이다. 따라서 같은 흙이라도 배수거리가 길면 압밀이 훨씬 느리게 진행된다. 이 점이 배수거리를 시간계수에 포함시키는 이유다.

시간계수(Tv)는 시간을 배수거리 제곱으로 나눈 무차원수다.

$T_v=\frac{c_v\,t}{H_{dr}^{2}}$

• t: 재하 후 경과 시간
• Hdr: 최대 배수거리(배수층까지 물이 흘러야 하는 가장 긴 거리, m)

한쪽 면만 배수되는 층이면 Hdr은 점토층 두께와 같고, 상하 양면이 배수되면 Hdr은 두께의 절반이다. 이 값을 잘못 잡으면 시간이 크게 틀어진다.

압밀도(U)는 현재까지 소산된 과잉간극수압 또는 침하량의 비율이다. 압밀도 0%는 재하 직후, 100%는 과잉간극수압이 모두 소산된 상태다. Tv와 U의 관계는 Tv가 0.2 정도 이하인 초기 단계에서 근사식으로 쓴다.

$U_v=\sqrt{\frac{4T_v}{\pi}}\quad (U_v<60\%)$

압밀도 60% 이상에서는 근사식이 달라지므로 Tv 값을 표나 식으로 따로 확인해야 한다. 압밀도 50%에 대응하는 시간계수는 Tv=0.197이며, 이 값은 시험에서 log t 법이나 평방근법으로 구한 압밀계수를 설계 시간 계산에 연결할 때 기준이 된다.

이 식은 압밀 전 과정에서 cv가 일정하다고 본다. 실제 점토는 하중이 커지면 cv가 변하므로, 해석 결과는 하중 구간별로 cv를 구해 쓰는 것이 일반적이다.

3. 등장 배경과 필요성

점토는 입자가 매우 작아 투수계수가 낮다. 그래서 포화된 점토에 하중이 가해지면 간극수가 빠져나가는 데 긴 시간이 걸리고, 침하가 수년에 걸쳐 진행되기도 한다. 이런 시간 지연은 구조물 설계와 시공 공정에 직접 영향을 준다. 침하가 끝나기 전에 건물을 세우면 부등침하와 균열이 생기고, 성토 공사에서는 공기가 늘어난다.

Terzaghi(1943)는 이 현상을 설명하기 위해 흙 요소의 물 흐름과 체적 변화를 결합해 압밀이론을 제시했다. 이전까지는 침하의 최종량을 구하는 방법은 있었지만, 침하가 언제 얼마나 진행되는지를 설명하는 이론은 부족했다. Terzaghi 방정식은 이 공백을 메웠고, 압밀시험에서 얻은 시간-침하 곡선과 현장 지반을 연결하는 기준이 되었다.

실무에서 이 식이 필요한 이유는 두 가지다. 첫째, 공사 기간 안에 필요한 침하량이 얼마나 진행되는지 예측할 수 있다. 둘째, 프리로딩, 샌드드레인, 페이퍼드레인 같은 연약지반 개량공법의 설계에서 배수거리와 처리 기간을 정할 수 있다. 특히 배수재를 설치하면 Hdr이 짧아져 Tv가 빠르게 커지므로, 같은 압밀도에 도달하는 시간이 크게 줄어든다.

다만 이론은 여러 가정을 전제로 한다. 흙은 균질하고 포화되어 있으며, 흙 입자와 물은 압축되지 않는다고 본다. 이 가정이 실제와 어긋나면 침하량보다 침하속도에서 오차가 더 크게 나타난다. 따라서 이론식은 현장 계측과 함께 쓰는 것이 원칙이다.

4. 구성요소·원리·절차

Terzaghi 압밀은 포화된 점성토에 하중이 가해졌을 때 과잉간극수압이 먼저 생기고, 이 물이 배수층으로 빠져나가면서 흙 골격이 응력을 부담하고 체적이 줄어드는 현상이다. 해석에 쓰는 구성요소는 다음과 같다.

지배방정식은 연속조건과 Darcy 법칙을 한 요소에 적용해 얻는다. 가정상 c_v가 일정하므로 다음 식이 된다.

$\frac{\partial u}{\partial t}=c_v\frac{\partial^2 u}{\partial z^2}$

여기서 z는 배수 방향 좌표(m), t는 시간(day)이다. 압밀계수는 다음과 같이 정의한다.

$c_v=\frac{k}{m_v\gamma_w}$

\gamma_w는 물의 단위중량(kN/m³)이다. c_v는 투수성 k와 압축성 m_v를 동시에 담으므로, 같은 점토라도 하중 크기에 따라 값이 달라진다.

시간계수는 시간과 배수거리로 무차원화한 값이다.

$T_v=\frac{c_v\,t}{H_{dr}^2}$

평균 압밀도 U와 T_v의 관계는 두 구간으로 나눠 쓴다. U≤60%에서 Tv=(π/4)U² 이고, U가 60%를 넘으면 T_v=1.781-0.933\log(100-U\%) 를 쓴다.

압밀도는 시간 t에서 침하량 S_t와 최종 침하량 S_c의 비다.

$U=\frac{S_t}{S_c}$

최종 압밀침하량은 압축지수를 쓰는 식과 체적압축계수를 쓰는 식 중 자료에 맞는 쪽을 쓴다.

$S_c=\frac{C_c\,H}{1+e_0}\log\frac{\sigma'_0+\Delta\sigma}{\sigma'_0}\qquad S_c=m_v\,\Delta\sigma\,H$

C_c는 압축지수, e_0는 초기 간극비, \sigma'_0는 초기 유효응력(kPa), \Delta\sigma는 증가 응력(kPa), H는 압축층 두께(m)이다.

이 원리로 해석하는 절차는 다음과 같다.

• 지층 두께와 배수조건을 확인한다. 단면배수는 H_{dr}=H, 양면배수는 H_{dr}=H/2 로 둔다.
• 압밀시험으로 m_v, c_v, C_c, 선행압밀응력을 구한다.
• 최종 압밀침하량 S_c를 산정한다.
• 목표 시간 t에서 T_v를 계산한다.
• T_v에 대응하는 U를 구하고 S_t=U\,S_c 로 침하량을 얻는다.
• 2차압밀이 중요한 지반이면 별도로 가산한다.

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5. 관련 법령·기준·표준

압밀 해석의 설계 기준은 국토교통부 지반설계기준(KDS 체계)과 표준시방서(KCS 체계)가 다룬다. 침하량 산정과 압밀시험 방법은 이 기준에 따라 적용하고, 시험 방법은 시험 기준서의 절차를 따른다. 아래 표는 Terzaghi 1차원 압밀 이론에서 그대로 쓰는 기준값이다.