주응력과 주응력면
주응력과 주응력면은 흙 요소의 응력상태를 가장 간명하게 나타내는 기준이다. 주응력면은 전단응력이 0이 되는 면이고, 그 면의 수직응력이 주응력이다. 2차원에서는 두 주응력면이 서로 직교하며, 최대값이 σ₁, 최소값이 σ₃이다. 흙 요소의 한 면에 수직응력과 전단응력이…
주요 장면
대본
정의
주응력과 주응력면은 흙 요소의 응력상태를 가장 간명하게 나타내는 기준이다.
주응력면은 전단응력이 0이 되는 면이고, 그 면의 수직응력이 주응력이다.
2차원에서는 두 주응력면이 서로 직교하며, 최대값이 σ₁, 최소값이 σ₃이다.
면 회전과 주응력면
흙 요소의 한 면에 수직응력과 전단응력이 함께 걸려 있다고 하자.
면을 돌려 전단응력이 사라지는 방향을 찾는다. 그 면이 주응력면이다.
그 면에 남는 수직응력이 바로 주응력이다.
주응력 식
주응력은 중심과 반지름으로 표현되는 식으로 구한다.
두 수직응력의 평균에 반지름을 더하고 빼면 σ₁과 σ₃가 된다.
주응력면의 방향은 tan 2θ 식으로 구하며, 2θ에서 얻은 각은 2로 나눠야 한다.
계산 예제
가상의 예로 σv=200 kPa, σh=100 kPa, τ=40 kPa인 요소를 본다.
중심은 150 kPa이고, 반지름은 √4100 ≈ 64.0 kPa이다.
그러므로 σ₁은 약 214.0 kPa, σ₃은 약 86.0 kPa이다.
주응력면의 방향은 tan 2θ = 0.8로 구하며, θ는 약 19.3°이다.
σ₁이 σv보다 크고 σ₃이 σh보다 작으므로 결과는 상식 범위 안에 있다.
Mohr 원과 최대 전단응력
Mohr 원은 면마다의 (σ, τ) 좌표를 원으로 나타낸 그림이다.
원이 σ축과 만나는 두 점이 주응력이며, 이 점은 전단응력이 0이다.
원의 반지름은 최대 전단응력과 같고, 그 면은 주응력면과 45° 기울어진다.
최대 전단응력면과 주응력면을 구분해서 써야 감점을 피한다.
흔한 실수
가장 흔한 감점은 주응력면과 최대 전단응력면을 혼동하는 것이다.
근호 앞의 ±는 최대와 최소를 동시에 뜻하므로 σ₁을 큰 값으로 정의한다.
tan 2θ에서 얻은 각은 2로 나눠야 면의 방향이 된다.
정리
정리하면 주응력면은 전단응력이 0인 면이고, 그 면의 수직응력이 주응력이다.
2차원에서는 서로 직교하는 두 면이 있고, σ₁과 σ₃는 중심과 반지름으로 구한다.
지반 파괴 검토는 Mohr-Coulomb 포락선과 비교한다.