주응력·주응력면

왜 배우는가: 주응력과 주응력면은 흙 요소의 응력상태를 가장 간명하게 나타내는 기준이며, 지반의 전단파괴와 안정 검토가 모두 이 개념 위에서 이루어진다. 기초 하중에 의한 지중 응력 산정과 Mohr-Coulomb 파괴 검토에서 반복적으로 쓰이므로 시험에서 계속 출제된다.

출제 이력: 제116회 1교시 9번, 제103회 1교시 12번, 제90회 1교시 5번

1. 한 줄 정의와 핵심 키워드

답안 첫 줄 정의: 주응력면은 전단응력이 0이 되는 면이고, 그 면에 작용하는 수직응력을 주응력이라 한다.

핵심 키워드

• 주응력면(principal plane)
• 주응력(principal stress)
• 최대 주응력 σ₁, 최소 주응력 σ₃
• 전단응력 0(zero shear stress)
• Mohr 원(Mohr's circle)
• 응력 변환(stress transformation)
• 주응력 방향각(principal direction)
• 유효응력 해석(effective stress analysis)

2. 개념 풀이

쉽게 말하면 흙 요소의 한 면에 수직응력과 전단응력이 함께 걸려 있을 때, 면을 돌려 전단응력이 사라지는 방향을 찾는 것이다. 그 방향의 면이 주응력면이고, 그 면에 남는 수직응력이 주응력이다.

정식 정의는 다음과 같다. 주응력면은 전단응력(shear stress)이 0인 면이다. 주응력은 그 면에 수직으로 작용하는 법선응력(normal stress)이며, 극값을 가진다. 최대값이 대주응력 σ₁, 최소값이 소주응력 σ₃이다.

2차원 응력상태에서 주응력면은 서로 직교하는 두 개가 존재한다. 두 면은 90°를 이루며, 한 면에서 최대 수직응력이 나오면 그 직교면에서는 최소 수직응력이 나온다. 3차원 응력상태에서는 주응력면이 세 개이고 서로 직교한다.

핵심 용어를 다시 정리하면 다음과 같다.

• 주응력면: 전단응력이 0인 면. 면의 법선 방향이 주응력 방향이다.
• 주응력: 주응력면에 작용하는 수직응력. σ₁ ≥ σ₂ ≥ σ₃ 순으로 정한다.
• Mohr 원: 임의 면의 (σ, τ) 좌표를 원으로 나타낸 그림. 원이 σ축과 만나는 두 점이 주응력이다. 전단응력이 0인 점이 바로 주응력 점이다.

흙의 역학에서는 압축을 (+)로 보는 부호 관례를 쓰는 경우가 많다. 따라서 답안에서는 부호 기준을 먼저 밝히는 것이 안전하다.

3. 등장 배경과 필요성

흙 요소는 자중, 기초 하중, 굴착에 의해 여러 방향의 응력을 동시에 받는다. 이때 면마다 수직응력과 전단응력의 조합이 달라서 어느 면이 가장 위험한지 한눈에 알기 어렵다. 응력을 주응력으로 정리하면 최대와 최소의 응력이 바로 드러나므로, 응력상태를 한두 개의 값으로 요약할 수 있다.

이 개념은 Mohr의 응력원과 함께 발전했다. Otto Mohr가 평면응력의 변환식을 그림으로 해석하는 방법을 고안하면서, 응력 변환을 기하학적으로 읽을 수 있게 되었다. 지반공학에서는 이 원리를 흙의 전단강도 검토에 연결하여 사용한다. 흙의 파괴는 최대 전단응력이 전단강도를 넘을 때 일어나므로, 주응력을 알면 파괴 가능 면의 방향과 크기를 판단할 수 있다.

최근에는 수치해석과 계측 결과를 해석할 때도 주응력이 기본 출력값으로 쓰인다. 기초 하중이 지중에 만드는 응력 변화를 계산한 뒤, 그 결과를 주응力 형태로 정리하여 파괴포락선과 비교한다. 따라서 주응력의 개념은 설계 계산의 출발점이 된다.