응력불변량

응력불변량이란

응력불변량은 좌표축을 바꿔도 값이 변하지 않는 응력 상태의 스칼라 값이다.

흙 요소를 돌려 보면 성분 값은 변하지만 불변량은 그대로다.

모어-쿨롱 파괴기준과 3축 시험 해석의 기초가 되는 개념이다.

주응력과 세 불변량

응력 텐서의 성분은 좌표축을 어떻게 잡느냐에 따라 달라진다.

하지만 주응력은 고유값이고, 이로부터 얻는 I1, I2, I3는 좌표 회전에도 같다.

주응력으로 쓴 특성방정식의 계수가 세 불변량이다.

I1은 세 주응력의 합이고, I3은 주응력의 곱이다.

그래서 불변량은 좌표계와 무관한 응력의 성질값이다.

계산 예제

앞 문제의 정답은 I1 = 500 kPa다.

예로 주응력이 300, 200, 100 kPa인 한 점을 보자.

I1은 합 600 kPa, I2는 쌍곱의 합 110000 kPa², I3는 곱 6000000 kPa³이다.

평균응력 p는 I1을 3으로 나눈 200 kPa이다.

편차응력과 옥타헤드럴 응력

평균응력 p를 빼고 남은 성분을 편차응력이라 한다.

편차응력의 제1 불변량 J1은 I1 - 3p로 항상 0이다.

J2는 전단 크기를 나타내고, 옥타헤드럴 전단응력은 √(2J2/3)로 구한다.

옥타헤드럴 수직응력은 평균응력과 같고, 전단응력은 J2로 정해진다.

헷갈리는 점

첫째, 불변량은 좌표계와 무관한 스칼라이고, 주방향은 방향 정보다.

둘째, 평균응력 p는 등방 성분이고 편차응력은 형태를 바꾸는 성분이다.

셋째, I1을 쓸 때 압축을 양으로 둘지 음으로 둘지 부호 규약을 밝혀야 한다.

이 세 가지를 구분하면 답안에서 흔한 실수를 피할 수 있다.

정리

정리하면 응력 불변량은 좌표 회전에 같은 스칼라 값이다.

세 불변량은 주응력의 대칭식으로 I1, I2, I3로 쓴다.

이 불변량은 Mohr-Coulomb 등 파괴·항복 기준의 입력이 된다.