응력불변량

왜 배우는가: 응력불변량은 흙의 강도·변형 해석에서 좌표계와 무관하게 응력 상태를 나타내는 기본 양이다. 모어-쿨롱 파괴기준, 3축 시험 해석, 수치해석 구성식 모두 주응력과 불변량을 바탕으로 하므로 1교시 용어 문제와 논술의 기초로 반복해서 출제된다.

출제 이력: 제127회 1교시 6번, 제111회 1교시 4번

1. 한 줄 정의와 핵심 키워드

응력불변량은 좌표축을 바꿔도 값이 변하지 않는 응력 상태의 스칼라량으로, 응력 텐서의 주응력 또는 특성방정식 계수로 나타낸다.

핵심 키워드

• 응력 텐서(Stress Tensor): 한 점의 응력 상태를 9개 성분으로 나타낸 2계 텐서
• 주응력(Principal Stress): 전단응력이 0이 되는 면에 작용하는 수직응력
• 제1·제2·제3 응력불변량(I₁, I₂, I₃): 좌표계와 무관한 세 개의 스칼라 값
• 응력 편차 텐서(Deviatoric Stress Tensor): 평균응력을 뺀 나머지 응력 성분
• 평균응력(Mean Stress): 세 주응력의 평균값
• 팔면체 응력(Octahedral Stress): 주축과 같은 각을 이루는 팔면체 면에 작용하는 응력
• 특성방정식(Characteristic Equation): 주응력을 구하기 위한 3차 방정식

2. 개념 풀이

쉬운 말로 하면, 같은 흙 요소를 어느 방향에서 좌표를 잡아도 똑같이 나오는 응력의 '성질값'이 응력불변량이다. 흙 요소를 돌려 봐도 변하는 것은 성분 값이고, 변하지 않는 것이 불변량이다.

정식 정의는 다음과 같다. 응력 텐서 \boldsymbol{\sigma}의 고유값인 주응력 \sigma_1, \sigma_2, \sigma_3 를 구하면 특성방정식은 \sigma^3 - I_1\sigma^2 + I_2\sigma - I_3 = 0 이다. 여기서 I_1, I_2, I_3 가 응력불변량이며, 각각 다음과 같다.

$I_1 = \sigma_{11}+\sigma_{22}+\sigma_{33} = \sigma_1+\sigma_2+\sigma_3$

$I_2 = \sigma_1\sigma_2+\sigma_2\sigma_3+\sigma_3\sigma_1$

$I_3 = \sigma_1\sigma_2\sigma_3 = \det\boldsymbol{\sigma}$

I_1은 대각 성분의 합(trace)이고, I_3은 행렬식(determinant)이다. 세 값은 좌표 회전에 대해 변하지 않는다.

핵심 용어를 정리하면 다음과 같다.

• 주응력: 전단응력이 없는 주평면에 작용하는 수직응력이며, 응력 텐서의 고유값이다.
• 주방향: 주응력이 작용하는 방향으로, 고유벡터에 해당한다.
• 응력 편차 텐서: 응력 텐서에서 정수압 성분을 뺀 텐서로, 형상 변화(전단)를 일으킨다.
• 편차 응력불변량 J_1, J_2, J_3: 편차 텐서의 불변량이며, 응력 편차 텐서의 주방향은 응력 텐서의 주방향과 같다. 따라서 편차 특성방정식도 같은 절차로 구한다.

흙역학에서는 특히 I_1과 편차 불변량 J_2를 많이 쓴다. J_2는 전단 응력의 크기를 나타내며 흙의 전단 거동을 다룰 때 중요하다.

3. 등장 배경과 필요성

흙은 3차원 응력 상태에 놓이지만, 실험과 설계는 주로 한두 방향의 응력으로 수행된다. 실제 지반의 응력은 좌표계를 어떻게 잡느냐에 따라 성분 값이 달라지므로, 좌표계와 무관한 기준이 필요했다. 응력불변량은 이 문제를 해결한다.

또한 흙의 파괴는 한 면이 아니라 응력 상태 전체로 결정된다. 그래서 주응력의 조합으로 파괴조건을 표현하는 모어-쿨롱 파괴기준과, 평균응력과 편차응력을 분리하여 다루는 3축 해석이 발달했다. 응력불변량은 이런 이론을 하나의 언어로 묶는 역할을 한다.

수치해석에서도 필요하다. 유한요소해석에서 탄소성 구성식이나 항복함수를 쓰려면 응력 상태를 좌표계와 무관한 양으로 표현해야 하므로 I_1, J_2, J_3 같은 불변량 형태로 정식화한다.

4. 구성요소·원리·절차

응력불변량은 응력 상태를 좌표계와 무관하게 나타내는 세 개의 스칼라 값이다. 흙의 응력은 응력텐서(Cauchy stress tensor)로 표시되며, 이 텐서의 성분은 좌표축을 어떻게 잡느냐에 따라 달라진다. 그러나 텐서가 나타내는 물리 상태는 변하지 않으므로, 좌표계와 무관한 값으로 상태를 정리할 필요가 있다.

응력불변량의 구성요소는 다음과 같다.

여기서 세 불변량은 주응력(principal stress)으로 다음과 같이 쓴다.

$I_1=\sigma_1+\sigma_2+\sigma_3$

$I_2=\sigma_1\sigma_2+\sigma_2\sigma_3+\sigma_3\sigma_1$

$I_3=\sigma_1\sigma_2\sigma_3$

각 기호의 뜻은 다음과 같다. \sigma_1,\sigma_2,\sigma_3은 주응력(Pa, kPa)이며 압축을 양(+)으로 둔다. I_1은 응력의 단위(Pa)를 갖고, I_2는 Pa², I_3는 Pa³ 단위를 갖는다.

원리는 다음과 같다. 응력텐서의 고유값이 곧 주응력이고, 고유값 문제의 특성방정식 계수가 불변량이다. 따라서 어떤 좌표계에서 구하든 같은 세 값이 나온다. 이 때문에 주응력의 조합으로 쓴 불변량은 지반의 파괴 조건과 응력 상태를 좌표계 독립적으로 비교하는 기준이 된다.

응력편차 텐서(stress deviator tensor)는 평균응력을 뺀 나머지 성분이며, 흙을 전단 변형시키는 역할을 한다. 편차응력 불변량은 다음과 같다.

$J_1=I_1-3p=0$

$J_2=\tfrac{1}{6}\left[(\sigma_1-\sigma_2)^2+(\sigma_2-\sigma_3)^2+(\sigma_3-\sigma_1)^2\right]$

여기서 p=I_1/3은 평균응력(Pa)이고, J_2는 편차응력의 제2불변량(Pa²)이다. J_1은 항상 0이므로 편차 텐서는 체적 변화 없이 형상만 바꾸는 순수 전단 상태다.

팔면체 응력(octahedral stress)은 주축과 같은 각을 이루는 평면에서 정의된다. 이 면의 수직응력은 평균응력과 같고, 전단응력은 다음과 같다.

$\tau_{oct}=\frac{1}{3}\sqrt{(\sigma_1-\sigma_2)^2+(\sigma_2-\sigma_3)^2+(\sigma_3-\sigma_1)^2}$

절차는 다음과 같다.

• 현장 응력 상태에서 주응력 \sigma_1,\sigma_2,\sigma_3을 구한다.
• 주응력으로 I_1,I_2,I_3를 계산한다.
• 평균응력 p=I_1/3을 구하고 편차 불변량 J_2를 계산한다.
• 파괴 조건식(예: Mohr–Coulomb)과 비교하여 응력 상태를 판정한다.

응력불변량은 주응력의 대칭식이므로 좌표계에 무관하다

I_1 = 주응력의 합

도식으로 정리하면 다음과 같다.

5. 관련 법령·기준·표준

응력불변량은 법령 기준이 아니라 연속체역학(continuum mechanics)과 토질역학의 이론 기준이다. 따라서 시행령이나 고시의 수치가 아니라, 파괴 기준식과 시험 조건이 기준이 된다. 흙의 강도 판정에 쓰이는 기준은 다음과 같다.

Mohr–Coulomb 식은 주응력으로 다음과 같이 쓸 수 있다.

$\sigma_1=\sigma_3\tan^2\left(45^\circ+\frac{\phi'}{2}\right)+2c'\tan\left(45^\circ+\frac{\phi'}{2}\right)$

Tresca 기준은 Mohr–Coulomb 식에서 \phi'=0인 경우에 해당한다. Mohr–Coulomb 기준은 1차 정의식으로 쓰이고, von Mises 기준은 편차응력 J_2만으로 항복을 정하므로 흙의 마찰 효과를 직접 나타내지 못한다.

국내 설계에서는 KDS(설계기준) 체계 안에서 지반 강도 정수를 쓰며, 응력불변량 자체의 수치 기준은 따로 없다. 개정 연혁으로 볼 수 있는 항목은 없다.

6. 유형과 비교

응력 불변량은 좌표계를 바꿔도 값이 변하지 않는 응력 상태의 양이다. 토질역학에서는 같은 응력 상태를 여러 방식으로 표현하므로 불변량을 기준으로 비교하는 것이 편리하다. 아래 표는 응력 불변량의 종류와 그 물리적 의미를 정리한 것이다.