수치해석법

수치해석법의 정의

수치해석법은 터널과 지반의 응력·변형 거동을 지배방정식의 근사해로 구하는 방법이다.

대표적으로 유한요소법, 유한차분법, 개별요소법, 불연속변형법이 있다.

앞의 두 방법은 연속체 해석이고, 뒤의 두 방법은 불연속체 해석이다.

유한요소법의 원리

유한요소법은 영역을 요소로 나누고, 요소 안에서 변위를 형상함수로 근사한다.

요소의 강성을 모아 전체 강성행렬을 조립하고, 연립방정식을 푼다.

여기서 강성행렬은 N/m, 절점변위는 m, 절점력은 N 단위다.

유한차분법의 원리

유한차분법은 미분 연산자를 격자점 사이의 차분 연산자로 근사하는 방법이다.

2차 미분은 양옆 격자점과 자기 격자점의 값으로 중심차분 식을 세워 근사한다.

격자 간격이 작을수록 차분 근사의 오차가 줄어든다.

FEM과 FDM 비교

FEM과 FDM을 같은 기준으로 비교하면 차이가 분명하게 드러난다.

FEM은 불규칙한 경계와 지층에 맞고, FDM은 규칙적인 격자에 맞는다.

두 방법 모두 결과 정확도는 요소 또는 격자 크기와 재료모델에 좌우된다.

계산 예제: 절리의 수직 변위

절리강성이 변위를 지배하는지 계산 예제로 확인해 보자.

수직 변위 증분은 수직응력에 절리 간격을 곱하고 수직강성으로 나눈 값이다.

2 MPa, 0.5 m, 1000 MPa/m를 대입하면 변위는 0.001 m, 즉 1 mm다.

절리강성 1000 MPa/m는 예제용 가정값이며 현장 시험값에 따라 달라진다.

해석법 선택 기준

수치해석은 연속체 해석과 불연속체 해석 중에서 골라 적용한다.

불연속면 간격이 파괴 메커니즘을 지배하면 불연속체 해석을 쓴다.

절리 간격이 매우 얇은 편암·천매암 등은 연속체 해석이 추천된다.

정리

정리하면 수치해석은 연속체 해석과 불연속체 해석으로 나뉜다.

FEM은 요소와 절점 변위로, FDM은 도함수의 차분식으로 해를 구한다.

두 방법을 구분하는 기준은 요소망의 형태와 지배방정식의 이산화 방식이다.