수치해석법

왜 배우는가: 터널 설계와 시공에서 지반 거동을 예측하려면 수치해석이 필수이며, 해석법의 선택 기준과 원리는 토질및기초기술사 시험에서 반복적으로 출제된다. 유한요소법과 유한차분법의 원리를 구분해 설명하는 능력은 실무 해석 결과를 검토하는 데도 직접 쓰인다.

출제 이력: 제118회 2교시 1번, 제100회 3교시 2번

1. 한 줄 정의와 핵심 키워드

수치해석법은 터널과 지반의 응력·변형 거동을 지배방정식의 근사해로 구하는 방법이며, 대표적으로 유한요소법(FEM), 유한차분법(FDM), 개별요소법(DEM), 불연속변형법(DDA)이 있다.

수치해석법은 지반을 요소나 블록으로 나누어 지배방정식을 근사적으로 푸는 방법이다.

핵심 키워드

• 유한요소법(FEM, Finite Element Method)
• 유한차분법(FDM, Finite Difference Method)
• 개별요소법(DEM, Discrete Element Method)
• 연속체 해석과 불연속체 해석
• 구성모델(Constitutive Model)
• 절리강성과 요소망(mesh)

2. 개념 풀이

수치해석은 터널 주변 지반이 굴착으로 어떻게 변하는지를 컴퓨터로 계산하는 방법이다. 지반은 모양과 성질이 복잡해서 이론식만으로는 응력과 변위를 구하기 어렵다. 그래서 지반을 작은 요소로 나누고, 각 요소에서 힘의 평형과 변형률-변위 관계를 연립하여 푼다.

정식 정의는 다음과 같다. 수치해석법은 연속체 또는 불연속체의 지배방정식을 이산화(discretization)하여 대수방정식으로 바꾸고, 반복 계산으로 허용오차 안의 근사해를 구하는 방법이다. 수치해석은 1940년대 컴퓨터 보급 이후 활발히 연구되었다.

핵심 용어를 풀면 다음과 같다.

• 요소망(mesh): 해석 영역을 나눈 작은 요소의 집합이다. 요소가 촘촘할수록 정확도가 높아지지만 계산 시간이 늘어난다.
• 이산화(discretization): 연속된 미분방정식을 격자점이나 절점 값으로 바꾸는 과정이다.
• 구성모델: 응력과 변형률의 관계를 정하는 재료 법칙이다. 탄성, 탄소성, 변형률 연화 모델 등이 있다.

수치해석의 결과 정확도는 모델링 조건과 구성모델 선택에 크게 좌우된다.

3. 등장 배경과 필요성

터널은 지반이 불균질하고 굴착 단계마다 경계조건이 바뀐다. 이론해는 단순한 형상과 탄성 조건에서만 얻을 수 있다. 따라서 복잡한 단면, 지보 순서, 지층 경계를 모두 반영하려면 수치해석이 필요하다.

유한요소법은 1941년 이후 탄성·구조 문제를 풀기 위해 시작되었다. 1950년대 중후반에는 항공기와 구조해석에 쓰였고, 1960년대에는 도시공학으로 확장되었다. 지반공학에서는 흙댐, 기초, 터널 설계에 적용되면서 실무 표준 도구가 되었다.

유한차분법은 미분 연산자를 차분 연산자로 근사하는 방법이다. 열전달과 유체 해석에서 먼저 쓰였고, 지반 분야에서는 계산 효율이 높아 연속체 해석에 널리 쓰인다.

불연속체 해석은 암반을 불연속면으로 나누어 블록의 집합으로 본다. 터널 주변 암반에서 절리와 단층이 거동을 지배할 때 필요하다. 연속체 해석은 불연속면의 효과를 재료 법칙에 평균화해 반영한다. 두 방법은 대상 지반의 절리 간격과 파괴 메커니즘에 따라 선택한다.

구성모델 선택이 해석 결과를 좌우하므로, 등장 배경에서 모델 선택의 근거를 먼저 세우는 것이 필요하다.

4. 구성요소·원리·절차

유한요소법(Finite Element Method, FEM)과 유한차분법(Finite Difference Method, FDM)은 지반을 유한한 개수의 영역으로 나누어 지배방정식을 수치적으로 푸는 방법이다. 두 방법은 지배방정식을 근사하는 방식이 다르다. FEM은 영역을 요소로 나누고 요소 안에서 변위를 근사한다. FDM은 영역을 격자로 나누고 격자점마다 미분을 차분으로 바꾼다.

FEM의 구성요소는 다음 표와 같다.

FEM의 원리는 다음과 같다. 지배방정식을 가중잔차법 또는 에너지 원리로 약형식(weak form)으로 바꾼다. 요소마다 형상함수로 변위를 근사하고, 요소의 강성을 모아 전체 강성행렬을 조립한다. 최종적으로 연립방정식을 푼다.

$[K]\{u\}=\{F\}$

여기서 [K]는 전체 강성행렬(N/m), \{u\}는 절점변위 벡터(m), \{F\}는 절점력 벡터(N)이다. 강성행렬이 크면 같은 하중에 변위가 작게 나온다.

FDM의 원리는 다음과 같다. 미분 연산자를 격자점 사이의 차분으로 바꾼다. 각 격자점에서 대수방정식을 세우고 전체를 동시에 푼다. 2차 미분의 중심차분 근사는 다음과 같다.

$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\approx\frac{u_{i+1}-2u_i+u_{i-1}}{\Delta x^2}$

여기서 u_i는 격자점 i의 변위(m), \Delta x는 격자 간격(m)이다. 격자 간격이 작을수록 차분 근사의 오차가 줄어든다.

FEM과 FDM의 차이를 비교표로 정리한다.

표의 내용처럼 FEM은 경계 적합성이 높고 FDM은 계산 구조가 단순하다. 두 방법 모두 결과의 정확도는 요소 또는 격자 크기와 재료모델에 좌우된다.

FEM 해석의 절차는 다음과 같다.

• 굴착 단면과 지반 영역을 설정하고 모델 경계 거리를 정한다.
• 지층과 암반 구역을 나누고 요소망을 생성한다.
• 재료 물성과 구성모델을 요소군별로 지정한다.
• 경계조건과 초기응력(자중, 측압)을 입력한다.
• 강성행렬을 조립하고 연립방정식을 푼다.
• 굴착 단계를 나누어 해방력을 적용하고 지보재를 추가한다.
• 변위와 응력 결과를 계측값과 비교해 모델을 검증한다.

흐름도는 결과 검증 뒤 재료와 경계 입력으로 되돌아가는 보정 과정을 포함한다. 해석은 한 번에 끝나지 않고 계측과 맞을 때까지 반복된다.

5. 관련 법령·기준·표준

터널 수치해석은 법률로 방법이 정해지지 않고 터널 설계기준과 발주처 설계지침을 따른다. 기준은 해석 조건을 정하는 기준값을 제시한다. 주요 항목을 표로 정리한다.

모델 경계는 굴착 폭의 3~5배 이상 떨어뜨려 경계 영향을 줄인다.

표의 값은 해석 영역을 정할 때 바로 쓰는 기준이다. 토사는 Mohr-Coulomb 모델로 점착력과 내부마찰각을 입력한다. 암반은 Hoek-Brown 기준으로 GSI를 구한 뒤 Mohr-Coulomb 상수로 바꾸어 쓰는 경우가 많다. 현행 설계기준의 세부 조항은 개정에 따라 달라지므로 적용 전에 해당 기준의 최신 본을 따른다.

개정 연혁

수치해석 기준은 설계 기준의 개정에 맞추어 갱신된다. 해석 조건과 허용 기준은 발주 시점의 설계기준을 따른다.

6. 유형과 비교

수치해석법은 지반의 연속성과 불연속성을 어떻게 모델링하느냐에 따라 크게 연속체 해석과 불연속체 해석으로 나뉜다. 두 방식의 차이는 암반을 하나의 연속체로 보는지, 불연속면으로 분리된 블록의 집합으로 보는지에 있다. 아래 표는 대표 기법을 기준으로 정리한 것이다.