판이론

판이론이란

판이론은 두께가 얇은 판을 중립면의 2차원 문제로 바꾸어 휨과 응력을 구하는 탄성 이론이다.

슬래브, 기초판, 교량 바닥판 같은 면 구조물의 휨 모멘트와 처짐을 구하는 기본 이론이다.

기술사 시험에서는 가정 사항과 직교성·등방성 구분을 묻는 문제로 반복 출제된다.

키르히호프-러브 가정

판이론의 기본은 키르히호프-러브 이론이다. 보의 오일러-베르누이 이론을 판으로 확장한 것이다.

첫째, 중립면에 수직인 직선은 변형 후에도 직선이다.

둘째, 그 직선은 변형 후에도 중립면에 수직이다.

셋째, 판의 두께는 변형 중 변하지 않는다.

이 가정으로 면외 전단변형률이 무시된다.

그래서 얇은 판에만 적용되고, 두꺼운 판은 민들린 이론으로 푼다.

등방성 판의 지배방정식

등방성 판의 처짐은 중첩 Laplace 연산자로 쓴 지배방정식으로 구한다.

여기서 q는 등분포 횡하중, D는 휨강성이다. 휨강성은 E, h, ν에 따라 정해진다.

모멘트는 처짐의 2계 도함수로 구하며, 포아송 비 ν가 함께 들어간다.

이 식으로 구한 모멘트가 철근량 산정의 출발점이다.

등방성과 직교이방성

등방성과 직교이방성은 재료 성질이 방향에 따라 같은지로 구분한다.

등방성 판은 탄성계수 E와 포아송 비 ν 두 상수로 거동이 정해진다.

직교이방성 판은 독립 재료상수가 9개다. 목재가 대표적인 예다.

철근 배근 방향에 따라 휨강성이 달라지는 슬래브는 직교이방성으로 모델링하기도 한다.

박판과 후판의 이론 선택

두께가 얇은 판은 키르히호프-러브 이론으로 푼다. 이때 전단변형은 무시된다.

두께가 커지면 전단변형의 영향이 커지므로 민들린 이론을 쓴다.

민들린 이론은 횡전단변형을 허용하며 전단보정계수 k를 쓴다.

답안에서는 박판은 키르히호프, 후판은 민들린을 먼저 쓴다.

판 휨 해석 절차

판의 휨은 경계조건을 정한 뒤 Lévy 해법으로 처짐 함수를 구한다.

마주보는 두 변이 단순지지이고 나머지가 자유단이면 Lévy 해가 적용된다.

처짐을 2계 도함수에 대입하면 단위 길이당 모멘트가 나온다.

이 모멘트가 철근량 산정의 직접 입력이 된다.

정답은 N·m/m이다. 모멘트를 길이로 나눈 단위다.

정리

판이론의 핵심을 정리한다.

등방성 판은 E와 ν로, 직교이방성 판은 9개 재료상수로 기술된다.

박판은 키르히호프-러브, 후판은 민들린으로 풀고, 실무는 두 방법을 함께 쓴다.