변형에너지와 공액에너지

정의

변형에너지는 외력이 구조물에 한 일이 탄성 에너지로 저장된 양이다.

공액에너지는 같은 곡선을 힘 쪽에서 잰 값이며, 기술사 시험에 반복해서 출제된다.

이 영상은 정의, 관계도, 계산 예, 한계 순서로 설명한다.

힘-변위 곡선

하중 P가 서서히 작용하면 외력이 한 일은 하중-변위 곡선 아래 면적이다.

이 면적이 변형에너지 U이며, 변위 δ에 대해 적분해 구한다.

공액에너지 U*는 힘-변위 곡선 위쪽 면적이며, U* = ∫δ dP로 구한다.

선형탄성이면 곡선이 직선이라 U와 U*가 같다. 비선형이면 두 값이 달라진다.

외팔보 계산

이번에는 자유단에 집중하중 P를 받는 외팔보로 계산해 본다.

예시는 가상의 값이며, 자중은 무시하고 EI는 전 길이에 일정하다고 둔다.

주어진 값은 P = 10 kN, L = 2 m, E = 200 GPa, I = 1.0×10^8 mm^4 이다.

자유단에서 x만큼 떨어진 점의 휨모멘트는 M(x) = Px이다.

휨만 고려한 변형에너지는 U = ∫M²/(2EI)dx로 구한다.

카스틸리아노 제2정리

카스틸리아노 제2정리는 변형에너지를 하중으로 편미분하면 그 방향 변위가 된다는 정리다.

M(x) = Px를 대입해 적분하면 U = P²L³/(6EI)를 얻는다.

이를 P로 편미분하면 자유단 처짐 δ = PL³/(3EI)가 나온다.

수치를 넣으면 처짐은 약 1.33 mm이며, 2 m 보에서 상식 범위 안이다.

한계

앞 문제의 정답은 2배다. 처짐이 하중 P에 비례하기 때문이다.

카스틸리아노 제2정리는 선형탄성이고 미소 변위인 경우에만 쓴다.

지점 침하나 온도 변화에 따른 처짐은 이 정리로 직접 구할 수 없다.

이때는 단위하중법이나 가상일의 원리로 따로 계산한다.

정리

정리하면 변형에너지는 곡선 아래 면적, 공액에너지는 위쪽 면적이다.

선형탄성에서는 U와 U*가 같으며, 카스틸리아노 제2정리로 처짐을 구한다.

지점 침하와 온도 항이 있으면 단위하중법으로 푼다.