고유진동수·모드형상

왜 배우는가: 고유진동수와 모드형상은 구조물이 외력(지진·풍하중·기계 가진)에 어떻게 반응하는지를 결정하는 가장 기본적인 동적 특성이다. 공진을 피하고 내진·진동 설계의 출발점을 정하는 데 쓰이므로 실무에서 필수다. 기술사 시험에서는 SDOF 공식 유도, 다자유도 계산, 층상 구조·강체 보 문제로 반복 출제되어 계산과 개념을 함께 정리해 두어야 한다.

출제 이력: 제130회 2교시 6번, 제129회 2교시 3번, 제125회 1교시 13번, 제123회 1교시 11번, 제121회 3교시 4번, 제112회 2교시 4번, 제101회 3교시 5번, 제90회 4교시 5번, 제89회 2교시 3번, 제63회 2교시 2번

1. 한 줄 정의와 핵심 키워드

답안 첫 줄 정의 문장: 고유진동수는 구조물이 외부 가진 없이 자유진동할 때 나타나는 고유한 진동수이고, 모드형상은 그 진동수에서 구조물 각 점이 가지는 상대적 변위 분포다.

핵심 키워드

• 고유진동수(natural frequency)
• 모드형상(mode shape)
• 강성행렬(stiffness matrix)과 질량행렬(mass matrix)
• 고유치 문제(eigenvalue problem)
• 비감쇠 자유진동(undamped free vibration)
• 1차 모드(fundamental mode)
• 모드 정규화(mode normalization)

2. 개념 풀이

쉬운 말로 풀면, 구조물을 한 번 밀었다 놓았을 때 스스로 흔들리는 속도와 흔들리는 모양이다. 흔들리는 빠르기가 고유진동수이고, 흔들리는 모양이 모드형상이다. 질량이 크면 천천히 흔들리고, 강성이 크면 빠르게 흔들린다.

정식 정의는 다음과 같다. 질량행렬 M, 강성행렬 K, 변위벡터 x에 대한 비감쇠 운동방정식은 $\mathbf{M}\ddot{\mathbf{x}}+\mathbf{K}\mathbf{x}=\mathbf{0}$ 이다. 조화해 \mathbf{x}=\boldsymbol{\phi}\sin(\omega t) 를 대입하면 $(\mathbf{K}-\omega^2\mathbf{M})\boldsymbol{\phi}=\mathbf{0}$ 이 되고, 여기서 \omega 는 고유각진동수(rad/s), \boldsymbol{\phi} 는 모드형상 벡터다. 자명해가 아닌 해를 가지려면 \det(\mathbf{K}-\omega^2\mathbf{M})=0 이어야 한다. 이것이 고유치 문제다.

고유진동수 f=\omega/(2\pi) (Hz)와 주기 T=1/f (s)의 관계도 함께 기억한다. 설계 문헌에서 고유진동수와 고유주기는 같은 현상을 다른 단위로 표현한 것이다.

핵심 용어 풀이

• 고유진동수: 고유치 \omega^2 의 양의 제곱근에 해당하는 진동수다. 자유도 수만큼 여러 개가 있으며 작은 것부터 1차, 2차 순으로 부른다.
• 모드형상: 한 고유진동수에 대응하는 고유벡터다. 절대 크기보다 각 자유도 사이의 상대 비율이 의미를 가진다.
• 정규화: 모드벡터의 크기를 질량행렬 기준으로 맞추는 것이다. 정규화 조건은 \boldsymbol{\phi}_i^T\mathbf{M}\boldsymbol{\phi}_i=1 로 쓴다.