수리학적 상사법칙

상사법칙이란

수리학적 상사법칙은 모형과 원형의 흐름을 같게 만드는 조건을 정하는 법칙이다.

댐이나 여수로를 축소 모형으로 실험하고, 그 결과를 상사법칙으로 원형에 환산한다.

상사는 기하학적, 운동학적, 역학적 상사의 세 단계로 나뉜다.

세 상사를 하나씩 살펴보자.

세 가지 상사

첫째는 기하학적 상사다. 대응하는 길이의 비가 같아 형상이 닮아야 한다.

둘째는 운동학적 상사다. 대응점의 유속 비와 시간 비가 일정해야 한다.

셋째는 역학적 상사다. 중력, 압력, 점성력, 관성력 등 힘의 비가 같아야 한다.

세 상사가 모두 성립하면 완전상사다. 하나라도 빠지면 원형에 적용할 수 없다.

Froude 상사의 축척 계산

길이 축척 Lr 이 정해지면 Froude 상사에서 속도비, 시간비, 유량비가 정해진다.

속도비와 시간비는 √Lr, 유량비는 Lr 의 5/2 제곱이다.

예를 들어 Lr 이 30이면 유량비 Qr 은 약 4,929가 된다.

원형 설계유량이 500 ㎥/s 이면 모형 유량은 약 0.101 ㎥/s, 즉 약 101 L/s이다.

계산 전에 Lr 이 1보다 작은지, 단위를 m와 ㎥/s로 통일했는지 확인한다.

Froude와 Reynolds 선택

먼저 흐름을 지배하는 힘이 무엇인지 판정한다.

개수로, 여수로, 감세지처럼 자유표면이 있는 흐름은 중력이 지배하므로 Froude 상사를 쓴다.

관로 마찰처럼 점성력이 지배하는 흐름은 Reynolds 상사를 쓴다.

두 법칙을 동시에 만족시키기 어려우므로 지배 힘을 먼저 밝혀야 한다.

스케일 효과와 불완전상사

앞 문제의 정답은 Froude 상사다.

모형을 작게 만들수록 점성과 표면장력의 영향이 상대적으로 커진다.

이것이 축척 효과이며, 축척이 작을수록 왜곡이 커진다.

두 법칙을 동시에 맞추지 못하면 불완전상사가 되어 지배 힘 하나를 우선한다.

축척을 크게 잡고 수치해석과 함께 검증하는 것이 개선 방향이다.

정리

앞 문제의 정답은 시간비 Tr = √Lr 이다.

정리하면, 먼저 세 상사를 확인하고 지배 힘을 판정한다.

중력이 지배하면 Froude, 점성이 지배하면 Reynolds 상사를 쓴다.

채점에서는 지배 힘 판정과 불완전상사 가능성을 확인한다.