수리학적 상사법칙

왜 배우는가: 수리모형실험은 실물 댐·여수로·감세지의 거동을 축소 모형으로 재현하는 기본 수단이다. 모형과 원형이 같은 흐름을 보이려면 상사법칙을 정확히 알아야 하며, 이 개념은 차원해석과 함께 수공구조물 분야 기술사 시험에서 거의 매년 반복해서 묻는다.

출제 이력: 제128회 3교시 5번, 제120회 1교시 12번, 제117회 1교시 3번, 제113회 1교시 9번, 제111회 1교시 9번, 제110회 1교시 2번, 제90회 1교시 4번, 제90회 1교시 7번

1. 한 줄 정의와 핵심 키워드

수리학적 상사법칙은 축소 모형과 실물(원형)에서 흐름의 기하학적·운동학적·역학적 조건이 같아지도록 모형의 조건을 정하는 원리다. 답안 첫 줄에는 다음 정의를 쓴다.

수리학적 상사법칙은 모형과 원형의 기하학적 상사, 운동학적 상사, 역학적 상사를 만족시키도록 모형 조건을 정하는 법칙이다.

핵심 키워드

• 기하학적 상사(Geometric Similarity): 대응 길이의 비가 일정한 형상 상사.
• 운동학적 상사(Kinematic Similarity): 대응점의 유속 비와 시간 비가 일정한 상사.
• 역학적 상사(Dynamic Similarity): 대응점에 작용하는 힘의 비가 일정한 상사.
• 축척비(Scale Ratio, Lr): 원형 길이에 대한 모형 길이의 비.
• Froude 상사: 중력과 관성력이 지배하는 흐름의 상사.
• Reynolds 상사: 점성력과 관성력이 지배하는 흐름의 상사.
• 무차원수: 상사 조건을 하나의 값으로 표현하는 비.

2. 개념 풀이

쉬운 말로 하면, 모형에서 흐름이 원형과 '같은 모양으로, 같은 힘의 균형으로' 움직이도록 맞추는 것이다. 모형을 작게 만들면 길이가 줄어들고, 그 결과 유속·시간·유량·힘도 함께 변한다. 상사법칙은 그 변화의 비를 정해 준다.

정식 정의는 다음과 같다. 두 흐름이 상사이려면 먼저 물체의 형상이 기하학적으로 상사여야 한다. 그다음 흐름에 작용하는 외력, 압력차에 의한 힘, 점성력, 관성력의 비가 두 흐름에서 같아야 한다. 이것이 역학적 상사다.

기하학적 상사는 모든 대응 길이의 비가 같은 상태다. 축척비를 Lr 로 두면 길이 L_r = L_m / L_p 가 된다. 면적은 L_r^2, 체적은 L_r^3 로 바뀐다.

운동학적 상사는 대응점에서 유속과 시간의 비가 일정한 상태다. 유선의 모양이 같아야 하며, 속도 비 V_r 와 시간 비 T_r 가 정해진다.

역학적 상사는 힘의 비가 같은 상태다. 중력, 압력, 점성력, 관성력, 표면장력 등의 비가 모형과 원형에서 같아야 한다. 이 조건은 무차원수로 표현되며, 어떤 힘이 흐름을 지배하는지에 따라 Froude 수, Reynolds 수, Weber 수 등을 선택한다.

세 상사 중 하나라도 빠지면 모형 결과를 원형에 적용할 수 없다.

완전 상사는 세 상사가 모두 성립하는 경우다. 실제로는 모든 무차원수를 동시에 맞추기 어렵기 때문에, 흐름을 지배하는 힘 하나를 골라 그 무차원수만 맞춘다.

3. 등장 배경과 필요성

실물 댐이나 여수로를 실제 규모로 실험하는 것은 비용과 시간 면에서 불가능하다. 그래서 축소 모형에서 실험하고, 그 결과를 원형에 환산하는 방법이 발전했다. 이때 환산의 근거가 상사법칙이다.

차원해석은 어떤 물리 현상을 무차원 변수들의 관계로 정리한다. 여기서 얻은 무차원수가 같으면 두 흐름은 상사다. 즉 상사법칙은 차원해석의 결과를 모형 설계 조건으로 바꾼 것이다. 학습 흐름은 차원해석 → 무차원수 → 상사법칙 → 모형 축척 계산 순서로 이어진다.

Lr = Lm / Lp

수공구조물에서는 흐름을 지배하는 힘이 흐름마다 다르다. 개수로·여수로·감세지처럼 중력과 관성력이 지배하는 흐름은 Froude 상사를 쓰고, 관수로처럼 점성력이 지배하는 흐름은 Reynolds 상사를 쓴다. 이 선택이 모형 설계의 첫 판단이다.