베르누이 방정식

정의

베르누이 방정식은 비압축성·비점성·정상류의 유선을 따라 성립하는 에너지 보존식이다.

식의 세 항은 압력수두, 속도수두, 위치수두이며 그 합을 전수두라 한다.

이상유체에서는 한 유선을 따라 전수두가 일정하다.

구성 항

식의 세 항은 모두 길이 차원을 가지므로 수두라고 부른다.

압력수두는 압력 에너지, 속도수두는 운동 에너지, 위치수두는 위치 에너지다.

세 항 중 하나가 늘면 나머지 둘의 합은 줄어든다.

관로 축소부에서 속도가 증가하면 압력이 낮아지는 이유가 이것이다.

유도

유도는 한 유선을 따라 잡은 미소 유관에 뉴턴 제2법칙을 적용하는 데서 시작한다.

유관에는 압력과 중력만 작용한다고 가정하면 Euler 운동방정식이 얻어진다.

정상류에서는 시간에 따른 변화항이 0이 되어 식이 간단해진다.

ρ로 나누고 유선을 따라 적분하면 베르누이 방정식이 얻어진다.

계산 예제

수평 관로에서 단면 1의 지름은 0.3m, 단면 2의 지름은 0.15m다.

연속방정식으로 단면 2의 유속을 구하면 8.0m/s가 된다.

수평이므로 위치수두가 같아 두 단면의 압력차만 남는다.

계산하면 압력차는 30kPa이다. 유속이 4배가 되면 속도수두는 16배가 된다.

헷갈리는 점

베르누이 방정식은 마찰이 없는 이상 흐름에서 전수두가 일정하다.

실제 흐름에서는 마찰 손실이 생기므로 두 단면 사이에 손실수두를 더한다.

정상류, 비압축성, 비점성, 유선 따라 가정이 모두 성립해야 이 식을 쓴다.

정리

마지막으로 핵심을 정리한다.

베르누이 방정식은 정상 비압축 비점성 유선 위에서 단위 중량당 에너지 합이 일정하다는 식이다.

마찰이 있으면 손실수두를 더해 H1 = H2 + h_L로 쓴다.

답안에는 정상류, 비압축성, 비점성, 유선 따라 가정을 반드시 적는다.