베르누이 방정식

왜 배우는가: 베르누이 방정식은 유체의 압력·속도·위치 에너지 관계를 나타내는 수리학의 기본 식으로, 관수로 설계, 펌프·수차 에너지 해석, 유량 측정 등 수자원 분야 거의 모든 계산의 출발점이다. 기술사 시험에서는 Euler 운동방정식으로부터의 유도 과정을 묻는 문항이 반복해서 출제되므로 유도 순서와 가정을 정확히 알아야 한다.

출제 이력: 제126회 3교시 3번, 제101회 2교시 1번

1. 한 줄 정의와 핵심 키워드

답안 첫 줄 정의 문장: 베르누이 방정식은 비압축성·비점성·정상류의 유선을 따라 단위중량당 압력수두, 속도수두, 위치수두의 합이 일정함을 나타내는 에너지 보존식이다.

핵심 키워드

• 베르누이 방정식
• Euler 운동방정식
• 유선(streamline)
• 압력수두·속도수두·위치수두
• 전수두(total head)
• 비압축성·비점성·정상류 가정
• 단위중량당 에너지

2. 개념 풀이

쉬운 말로 하면, 물이 빠르게 흐르는 곳은 압력이 낮고 높은 곳에 있는 물은 위치 에너지가 크다는 것을 하나의 식으로 묶은 것이다. 흐르는 물의 세 가지 에너지가 서로 바뀌더라도 마찰이 없다면 합계는 변하지 않는다.

정식 정의는 Euler 운동방정식을 한 유선을 따라 적분하여 얻는 식이다. 그 결과는 다음과 같다.

$\frac{p}{\rho g}+\frac{v^2}{2g}+z=\text{const.}$

여기서 p는 압력(Pa), \rho는 밀도(kg/m³), g는 중력가속도(m/s²), v는 유속(m/s), z는 기준면으로부터의 높이(m)이다. 각 항은 차원이 길이(m)이므로 수두라고 부른다.

압력수두는 단위중량당 압력 에너지, 속도수두는 단위중량당 운동 에너지, 위치수두는 단위중량당 위치 에너지다. 세 항의 합을 전수두라 하며, 이상유체에서는 유선을 따라 일정하다.

정상류란 어느 한 점에서 속도와 압력이 시간에 따라 변하지 않는 흐름이다. 비점성이란 내부 마찰이 없다는 뜻이며, 실제 유체는 점성이 있으므로 마찰손실수두를 추가해야 한다. 이 두 가정이 베르누이 방정식의 적용 범위를 정한다.

베르누이 방정식은 한 유선 위의 두 점 사이에서 성립한다. 서로 다른 유선 사이에서는 일반적으로 성립하지 않는다. 이 점을 답안에 명시하면 감점을 줄일 수 있다.

3. 등장 배경과 필요성

18세기 스위스의 수학자 Daniel Bernoulli가 유체의 에너지 보존을 식으로 정리한 것이 기원이다. 이후 Euler가 뉴턴 제2법칙을 유체 입자에 적용한 운동방정식을 세우면서 베르누이 식이 역학적으로 유도되었다. 두 방정식은 서로 다른 출발점에서 같은 결과로 이어진다.

수자원 실무에서는 관수로의 압력 분포, 수문 아래의 유속, 벤투리미터·피토관 같은 유량계의 원리를 설명하는 데 쓰인다. 저수지 취수구의 유입 손실, 펌프의 흡입 조건 검토에서도 같은 식을 출발점으로 삼는다. 실제 흐름의 손실을 더하면 에너지 방정식으로 확장되어 설계에 바로 쓰인다.

따라서 이 방정식을 유도할 수 있어야 각 가정이 깨졌을 때 어떤 항을 추가해야 하는지 판단할 수 있다.

4. 구성요소·원리·절차

베르누이 방정식은 에너지 보존을 유선 방향으로 적분한 결과다. 식의 각 항은 단위 중량당 에너지, 즉 수두(head)로 표현된다. 이상 유체의 정상 유선류에서 세 항의 합은 유선을 따라 일정하다.

표의 세 항은 모두 길이 차원을 가진다. 따라서 수두 합의 보존은 단위 중량당 에너지 보존과 같다. 세 항 중 하나가 늘면 나머지 둘의 합은 줄어든다. 이것이 관로 축소부에서 속도가 증가하면 압력이 낮아지는 이유다.

Euler 운동방정식은 Newton 제2법칙을 미소 유관에 적용해 얻는다. 유관에는 압력과 중력만 작용한다고 가정한다. 유선 방향 s에 대한 식은 다음과 같다.

$\rho \frac{dV}{dt} = -\frac{\partial p}{\partial s} - \rho g \frac{\partial z}{\partial s}$

여기서 \rho는 밀도(kg/m³), V는 유속(m/s), p는 압력(Pa), g는 중력가속도(m/s²), z는 기준면으로부터 높이(m), s는 유선 길이(m)다. 정상류에서는 \partial V/\partial t = 0이고 dV/dt = V\,dV/ds다.

유도 절차

• 유선 위 미소 유관을 잡고 Newton 제2법칙을 유선 방향으로 쓴다.
• 정상류 조건 dV/dt = V\,dV/ds를 대입한다.
• 식의 양변을 \rho로 나눈다. 비압축성이므로 \rho는 상수다.
• \frac{dp}{\rho} + V\,dV + g\,dz = 0 형태로 정리한다.
• 유선을 따라 적분한다.
• 적분 상수를 정리하여 Bernoulli 방정식을 얻는다.

$\frac{p}{\rho g} + \frac{V^2}{2g} + z = \text{const.}$

비압축성·정상류·비점성·유선 따라 가정이 모두 성립해야 이 식을 쓴다.

베르누이 방정식은 정상 비압축 비점성 유선 위에서 단위 중량당 에너지 합이 일정하다는 식이다.

5. 관련 법령·기준·표준

베르누이 방정식은 물리 법칙이므로 법령 조문으로 정해지는 값이 아니다. 수리 설계에서는 관련 기준의 적용 조건과 보정항을 함께 확인한다. 아래 표는 식의 적용 한계와 보정 항을 정리한 것이다.

실제 흐름의 손실수두 h_L을 더한다. 손실이 있는 두 단면 사이의 식은 다음과 같다.

$\frac{p_1}{\rho g} + \frac{V_1^2}{2g} + z_1 = \frac{p_2}{\rho g} + \frac{V_2^2}{2g} + z_2 + h_L$

여기서 h_L은 손실수두(m)다. 마찰손실은 Darcy–Weisbach 식으로 구하는 것이 일반적이다.

개정 연혁: 베르누이 방정식 자체는 개정 대상이 아니다. 관련 설계 기준은 수리학 교재와 설계 지침의 손실계수를 따른다.

6. 유형과 비교

Bernoulli 방정식은 적용 조건에 따라 여러 형태로 쓰인다. 유선 방향 한 점의 식인 Bernoulli 방정식(단위 중량당 에너지), 두 단면 사이의 식인 에너지 방정식(손실수두 포함), 그리고 압력 단위로 쓰는 동압·정압·전압 형태가 대표적이다. 시험에서는 어떤 형태를 어떤 조건에서 쓰는지를 구분해야 한다.