X/R 비와 고장전류·차단기 선정

X/R 비의 정의

X/R 비는 고장점에서 본 임피던스의 리액턴스와 저항의 비다.

고장전류의 비대칭 정도와 직류분이 줄어드는 속도를 정한다.

같은 전원이라도 고장점이 전원에 가까우면 X/R 비가 커지는 경향이 있다.

시험에서 반복 출제되므로 직류분과 차단기 정격을 연결해 알아 둔다.

임피던스 각도와 역률

고장점에서 본 등가 임피던스는 Z = R + jX로 둔다.

위상각 θ는 tan⁻¹(X/R)이고, 역률은 cos θ가 된다.

X/R 비가 커지면 위상각은 90°에 가까워지고 역률은 낮아진다.

그래서 X/R 비는 임피던스의 위상각, 즉 위상차를 결정한다.

직류분과 감쇠 시정수

고장이 나면 인덕턴스를 흐르는 전류는 순간적으로 변할 수 없다.

그래서 교류 정상분에 크기가 같고 부호가 반대인 직류분이 더해진다.

직류분은 시정수 τ = X/(ωR)에 따라 지수함수적으로 줄어든다.

X/R 비가 클수록 τ가 길어져 비대칭 상태가 여러 주기 이어진다.

피크 전류 계산

차단기의 정격과 기계적 강도는 1/2 사이클 안의 피크 전류로 검토한다.

피크 계수 κ는 X/R 비로 정해지며, 공식은 1.02 + 0.98e^(-3R/X)이다.

X/R이 17이면 κ는 약 1.84가 되고, i_p는 약 2.6 I''_k가 된다.

대칭 실효치의 수 배에 이를 수 있어 기계적 강도 검토에도 이 값을 쓴다.

차단기 선정에 미치는 영향

차단기는 대칭 전류뿐 아니라 직류분을 포함한 비대칭 전류로도 검토한다.

투입전류는 차단기를 닫을 때 흐르는 최대 피크이며, 전자력은 피크의 제곱에 비례한다.

X/R 비가 크면 차단기가 전류 영점을 맞추기 어려워 차단 시간이 길어진다.

그래서 X/R 비는 차단기 정격 선정의 핵심 변수가 된다.

계산 예: X/R 17

X/R이 17이면 역률각 φ는 tan⁻¹17, 약 86.7°다.

60Hz에서 ω는 약 377 rad/s이므로 τ는 17/377, 약 0.045초다.

1/2 사이클의 비대칭 피크는 대칭 실효치의 약 2.6배가 된다.

이처럼 X/R 비가 크면 직류분이 오래 남고 피크가 커진다.

정리

X/R 비는 고장점의 임피던스 각도를 결정한다.

X/R 비가 커지면 직류분이 커지고 감쇠가 느려진다.

차단기는 대칭 차단용량뿐 아니라 투입용량과 비대칭 차단용량도 함께 본다.

발전소와 변전소 인근 고장일수록 X/R 비가 커진다.