X/R Ratio

왜 배우는가: X/R 비는 고장전류의 크기와 파형, 그리고 차단기와 투입 전류 정격을 함께 좌우하는 변수라 보호설계 실무에서 빠질 수 없다. 전류의 직류분과 차단기 정격을 연결해 설명하는 능력을 보는 개념이라 시험에서도 반복해서 출제된다.

출제 이력: 제138회 2교시 6번, 제121회 3교시 3번, 제92회 4교시 3번

1. 한 줄 정의와 핵심 키워드

답안 첫 줄 정의: X/R 비는 고장점에서 본 계통 임피던스의 리액턴스(X)와 저항(R)의 비로, 고장전류의 비대칭 정도와 직류분 감쇠 속도를 정한다.

X/R 비는 고장점마다 다르며 전원측 임피던스를 기준으로 계산한다. 같은 전원이라도 고장점이 전원에 가까우면 X/R 비가 커지는 경향이 있다.

핵심 키워드

• X/R 비
• 임피던스 위상각
• 직류분(DC 성분)
• 비대칭 고장전류
• 감쇠 시정수
• 비대칭계수(MF)
• 투입전류
• 차단용량

2. 개념 풀이

쉬운 말로 하면 X/R 비는 고장이 났을 때 전류가 한쪽으로 얼마나 치우쳐 흐르고, 그 치우침이 얼마나 오래 남는지를 나타내는 값이다. 전압이 같더라도 X/R 비가 크면 고장 직후 전류 파형의 찌그러짐이 커지고 차단기가 감당해야 할 전류도 커진다.

정식으로는 고장점에서 전원측을 본 등가 임피던스를 $Z = R + jX$ 로 두고, X/R 비는 리액턴스와 저항의 비로 정의한다. 여기서 R은 저항[Ω], X는 리액턴스[Ω]이다. 이때 임피던스 위상각은 $\theta = \tan^{-1}\frac{X}{R}$ 이고, 역률은 $\cos\theta$ 이다. X/R 비가 커지면 위상각은 90°에 가까워지고 역률은 낮아진다.

고장이 나면 인덕턴스 성분을 흐르는 전류는 순간적으로 변할 수 없다. 고장 직전 전류가 0이었다면 교류 정상분 전류에 크기가 같고 부호가 반대인 직류분이 더해져야 전류가 연속된다. 직류분의 초기값은 고장이 일어난 순간의 전압 위상에 따라 정해지며, 가장 큰 경우 정상분 전류의 피크값과 같다. 이 때문에 고장전류는 처음 반 주기 동안 한쪽으로 크게 치우친다.

고장 시점 전압의 위상과 임피던스 위상각의 차가 90°일 때 직류분이 최대가 되고, 두 값이 같을 때 직류분은 0이 된다. 따라서 같은 계통이라도 고장이 일어난 순간에 따라 비대칭 정도가 달라진다.

직류분은 저항과 인덕턴스로 이루어진 회로의 시정수에 따라 지수함수적으로 줄어든다. 시정수는 다음과 같다.

$\tau = \frac{L}{R} = \frac{X}{\omega R}$

여기서 L은 인덕턴스[H], ω는 각주파수[rad/s], τ는 감쇠 시정수[s]이다. X = ωL 이므로 시정수는 X/R 비에 비례한다. X/R 비가 클수록 직류분은 천천히 사라지고 비대칭 상태가 여러 주기 이어진다. X/R 비가 0이면 직류분이 없는 순수 교류가 되고, R이 0이면 직류분은 감쇠하지 않는다.

계산 예제는 다음과 같다. 주어진 값은 X/R = 17, f = 60Hz이다. 각주파수는 ω = 2π×60 ≈ 377rad/s이다. 시정수는 τ = X/(ωR) = 17/377 ≈ 0.045s이다. 결과는 X/R 17 ≈ 시정수 45ms(60Hz) 이고, 계산 결과가 상식 범위에 있다.

차단기 정격과 기계적 강도는 피크 전류로 검토한다. 1/2 사이클 안의 비대칭 피크 전류는 다음 식으로 구한다.

$i_p = \kappa\sqrt{2}\,I''_k$

여기서 $I''_k$ 는 대칭 초기 단락전류의 실효값[A]이고, 피크 계수 κ는 $\kappa = 1.02 + 0.98e^{-3R/X}$ 로 구한다. X/R = 17이면 R/X ≈ 0.059, 3R/X ≈ 0.176, e^{-0.176} ≈ 0.839이므로 κ ≈ 1.02 + 0.98×0.839 ≈ 1.84이다. 따라서 $i_p \approx 1.84\times1.414\,I''_k \approx 2.6\,I''_k$ 이다. 이 값은 대칭 실효치의 수 배 수준이므로 상식 범위다.