역적-운동량 방정식

정의

역적-운동량 방정식은 검사체적에 작용하는 외력의 합이 운동량 변화와 같다는 식이다.

내부 손실 과정을 몰라도 검사체적의 유출입과 외력만으로 구조물에 걸리는 힘을 구한다.

뉴턴 제2법칙을 유체의 질량 흐름에 옮겨 쓴 것이라 이해하면 쉽다.

뉴턴 제2법칙에서 출발

뉴턴 제2법칙 F=ma에 a=dV/dt를 넣으면 F=d(mV)/dt가 된다.

이를 시간 구간에 대해 적분하면 역적이 운동량 변화와 같아진다.

좌변은 역적, 우변은 운동량 변화다. 이 관계가 방정식의 이름이 된다.

검사체적과 정상류

검사체적은 고정된 경계로 잡고, 그 경계를 드나드는 유량과 운동량을 본다.

정상류에서는 시간 변화항이 0이 되어 식이 단순해진다.

그러면 외력의 합은 ρQ(V₂−V₁)과 같다. 벡터식이므로 성분별로 나눠 쓴다.

관로 굽힘부의 충격력

굽힘각이 있는 관에서는 입구와 출구의 운동량 벡터가 서로 다르다.

두 운동량의 벡터 차가 굽힘부가 받는 충격력이 된다.

크기는 F=ρQV·2sin(θ/2)이며, 45° 이하 굽힘 등에 쓰는 근사식이다.

마찰 전단응력 유도

등류에서는 입·출구 운동량 차가 0이라 힘이 서로 평형을 이룬다.

물 기둥에 작용하는 중력 성분 γALS가 벽면 전단력 τ0PL과 평형을 이룬다.

정리하면 τ0 = γRS이며, 전단응력은 수력반경과 경사에 비례한다.

R=2.0 m, S=0.001, γ=9.81 kN/m³을 넣으면 τ0는 19.6 Pa이다.

운동량 방정식과 다른 식

운동량 방정식과 베르누이 방정식은 함께 써서 입·출구 압력과 구조물 힘을 구한다.

운동량 방정식은 힘을 직접 구하고, 베르누이 방정식은 손실을 거쳐 압력을 구한다.

속도 분포가 불균일하면 운동량 보정계수 β를 곱하고, 가정의 오차도 확인한다.

정리

역적-운동량 방정식은 검사체적의 외력과 운동량 변화를 잇는 식이다.

정상류와 등류 가정을 명시하고, 힘의 성분을 나눠 계산한다.

답안에는 정의와 적용 사례를 함께 적는다.