토리첼리의 정리

토리첼리의 정리

토리첼리의 정리는 수조 측면 작은 구멍에서 나오는 유체의 속도를 구하는 법칙이다.

유출 속도는 수면과 구멍 중심의 높이차 h 만큼 자유낙하한 물체의 속도와 같다.

물이 많이 찰수록 h 가 커져서 구멍으로 더 빨리 흘러나온다.

유출 속도 공식

유출 속도는 v = √(2gh) 로 구한다. 중력가속도 g 는 9.81 m/s² 이다.

이 식은 베르누이 방정식에서 나온다. 압력항과 수면 하강 속도 항을 소거하면 된다.

그래서 수두만 알면 별도 계산 없이 이론 유속을 바로 얻는다.

성립 조건

이 식이 성립하려면 몇 가지 조건이 필요하다.

정상류, 비압축성, 수위 하강 무시, 대기압 개방 조건을 함께 만족해야 한다.

이 중 하나라도 빠지면 식의 오차가 커진다.

실제 유출과 계수

실제 유출은 이론 속도보다 느리다. 구멍 가장자리에서 흐름이 모이는 수축 때문이다.

이 현상을 축류 수축이라 하며, 날카로운 구멍의 수축계수 Cc 는 약 0.61 이다.

그래서 유량은 이론 유량에 유량계수 Cd 를 곱해 보정한다.

예제 계산

예제로 확인해 보자. 수면에서 구멍 중심까지의 높이가 2.0 m 인 저수조다.

식에 대입하면 이론 유속은 약 6.26 m/s 가 된다.

이 값은 2 m 높이에서 자유낙하한 물체의 속도와 같다.

정답 확인

정답은 약 8.86 m/s 다. 높이 4 m 를 같은 식에 넣으면 된다.

높이가 2 배가 되면 유속은 √2 배가 된다. 유속은 높이의 제곱근에 비례한다.

시험 포인트 정리

토리첼리의 정리는 베르누이 방정식의 특수한 경우다.

식은 v = √(2gh) 이고, 실제 유량은 계수로 보정한다.

조건 확인, 식 유도, 수축 보정을 함께 써야 한다.