토리첼리 정리

왜 배우는가: 토리첼리의 정리는 탱크 측면 구멍에서 나오는 유출속도를 수위차로 간단히 구하는 식으로, 베르누이 방정식을 실무 계산에 바로 쓰는 대표 사례다. 저수조 배수, 급수설비 유출, 오리피스 유량 계산의 출발점이라 실무와 시험에서 반복해 출제된다.

출제 이력: 제138회 1교시 13번, 제121회 1교시 1번, 제97회 1교시 9번

1. 한 줄 정의와 핵심 키워드

토리첼리의 정리는 수조 측면 작은 구멍에서 유출되는 유체의 속도가 수면과 구멍 사이 높이 h만큼 자유낙하한 물체의 속도와 같다는 법칙으로, 유출속도 v = √(2gh) 로 구한다.

핵심 키워드

• 토리첼리의 정리(Torricelli's theorem)
• 유출속도(Efflux velocity)
• 수두차 h
• 오리피스(Orifice)
• 베르누이 방정식(Bernoulli's equation)
• 자유낙하 속도
• 중력가속도 g
• 축류 수축(Vena contracta)

2. 개념 풀이

쉬운 말로 풀면 탱크 옆면에 작은 구멍을 뚫으면 물이 힘차게 나오는데, 그 속도는 물 표면에서 그 구멍 높이까지 떨어진 물체가 구멍 위치에서 갖는 속도와 같다는 뜻이다. 물이 많이 찰수록 구멍 위 수두가 커서 더 빨리 나온다.

정식 정의는 다음과 같다. 수조 측면 하부의 대기와 개방된 비교적 작은 구멍을 통해 유출되는 유체의 속도를 계산하는 공식이며, 이때 구멍이 작아 수조 수위 하강 속도는 무시한다. 중력가속도를 g, 수면과 구멍 중심의 높이차를 h, 유출속도를 v라 하면 다음 관계가 성립한다.

$v = \sqrt{2gh}$

여기서 v는 유출속도(m/s), g는 중력가속도(9.81m/s²), h는 수면에서 구멍까지의 깊이(m)다.

베르누이 방정식(Bernoulli's equation) 과의 관계가 핵심이다. 토리첼리의 정리는 비압축성 유동에서 베르누이 방정식을 변형한 것이다. 유선 위 에너지 보존에서 출발해 압력항과 수면 강하 속도를 제거하면 같은 결과가 나온다.

비압축성 유동(Incompressible flow) 가정도 함께 성립해야 한다. 액체는 밀도가 일정하다고 보고 적용한다.

오리피스(Orifice) 는 얇은 판에 뚫은 작은 구멍이다. 구멍 크기가 탱크 단면적보다 충분히 작아야 수위 하강을 무시할 수 있다.

축류 수축(Vena contracta) 은 구멍을 통과한 제트가 구멍 바로 바깥에서 단면이 최소가 되는 현상이다. 실제 유량은 이 수축 때문에 이론값보다 작아지며, 이를 보정하는 것이 유량계수다.

3. 등장 배경과 필요성

토리첼리는 1643년 이 법칙을 발표한 이탈리아 과학자 에반젤리스타 토리첼리(Evangelista Torricelli)의 이름을 딴 것이다. 당시 수조나 용기에서 물이 흘러나오는 속도를 설명할 이론이 없었다. 이 법칙은 낙하 운동과 에너지 보존 개념을 유체 흐름에 연결한 최초의 사례로 평가된다.

이후 베르누이 방정식이 정립되면서 토리첼리의 정리는 그 특수한 경우로 설명되었다. 실무에서는 저수조 배수 시간 계산, 옥상 탱크의 유출량 추정, 급수설비에서 구멍이나 개구부를 통한 유량 산정에 활용된다.