Mononobe-Okabe 토압

왜 배우는가: 지진 시 옹벽과 교대의 안정성을 검토하려면 정적 토압만으로는 부족하다. Mononobe-Okabe 토압은 지진 관성력을 토압에 넣는 대표적 방법이라 내진 설계 문항에서 자주 나온다. 시험에서는 공식 암기보다 관성력이 토압과 작용점에 어떻게 반영되는지를 묻는다.

출제 이력: 제119회 3교시 6번, 제102회 1교시 12번

1. 한 줄 정의와 핵심 키워드

답안 첫 줄 정의 Mononobe-Okabe 토압은 지진 시 흙쐐기의 관성력을 파괴면 힘의 평형에 포함해 동적 주동토압을 구하는 방법이다.

핵심 키워드

• 동적 주동토압(Dynamic Active Earth Pressure)
• 수평 지진계수 k_h
• 연직 지진계수 k_v
• 동적 주동토압계수 K_AE
• 동적 증분 ΔP_AE
• 쿨롬 토압 이론
• 벽면마찰각 δ
• 관성력

2. 개념 풀이

쉬운 말로 말하면, 지진이 나면 옹벽 뒤 흙이 벽을 밀어내는 힘이 정지 상태보다 커진다. 흙쐐기가 흔들리면서 자기 무게에 관성력이 더해지기 때문이다.

정식 정의는 다음과 같다. 지진동에 의한 수평·연직 관성력을 쿨롬 파괴쐐기의 힘 평형에 포함하여 동적 상태의 주동토압을 구하는 이론이다. 이론은 정적 쿨롬 해석과 같은 틀을 쓰고 지진계수만 추가한다.

핵심 용어 풀이

• 수평 지진계수 k_h는 지반의 수평 가속도를 중력가속도로 나눈 값이다. 값이 클수록 쐐기에 걸리는 수평 관성력이 커진다.
• 연직 지진계수 k_v는 연직 방향 가속도를 중력가속도로 나눈 값이다. 쐐기의 유효 자중을 줄이거나 늘린다.
• 지진 보정각 ψ는 지진 시 흙쐐기 합력의 방향을 바꾸는 각이다. 아래 식 (1)로 정의한다.
• 동적 증분 ΔP_AE는 지진 시 주동토압 합력에서 정적 주동토압을 뺀 값이다. 지진으로 추가되는 토압을 뜻한다.

식 (1)은 지진 보정각이다.

$\psi=\tan^{-1}\frac{k_h}{1-k_v}$

식 (2)는 동적 주동토압계수다. 쿨롬 해석과 같은 기준에서 유도된다.

$K_{AE}=\frac{\cos^2(\phi-\psi-\theta)}{\cos\psi\cos^2\theta\cos(\delta+\theta+\psi)\left[1+\sqrt{\dfrac{\sin(\phi+\delta)\sin(\phi-\psi-i)}{\cos(\delta+\theta+\psi)\cos(i-\theta)}}\right]^2}$

각 기호의 뜻은 다음과 같다. φ는 흙의 내부마찰각, δ는 벽면마찰각, θ는 벽 배면의 연직선에 대한 경사각, i는 뒤채움 지표의 경사각이다. ψ는 식 (1)의 보정각이다. 값이 클수록 K_AE가 커지고 토압도 커진다.

식 (3)은 지진 시 주동토압 합력과 증분이다. 정적 주동토압계수 K_A와 K_AE를 함께 쓴다.

$P_{AE}=\frac{1}{2}\gamma H^2(1-k_v)K_{AE},\qquad \Delta P_{AE}=P_{AE}-\frac{1}{2}\gamma H^2K_A$

여기서 γ는 흙의 단위중량, H는 옹벽 높이, K_A는 정적 주동토압계수다. 정적 합력 P_A의 작용점은 옹벽 밑면에서 H/3 높이다. 동적 증분 ΔP_AE의 작용점은 옹벽 밑면 가까이 관련 기준이 정한 높이에 있다. 작용점의 계산 과정은 4절에서 다룬다.

3. 등장 배경과 필요성

정적 토압 이론은 지진의 영향을 반영하지 못한다. 쿨롬 토압과 랭킨 토압은 흙이 정지 상태에서 자중만 받는다고 가정한다. 지진이 발생하면 지반 가속도로 흙쐐기 자체에 관성력이 작용하고, 이 힘이 옹벽에 추가 토압을 만든다.

설계 현장에서는 지진 시 옹벽이나 교대가 전도, 활동, 지지력 측면에서 안전한지 확인해야 한다. 정적 토압만으로 설계하면 지진 시 증가분이 빠져 과소 설계가 된다. 따라서 동적 토압을 별도로 산정하는 방법이 필요하다.

유사정적법(Pseudo-static Method)은 지진 효과를 정적 힘으로 바꿔 쓰는 방법이다. Mononobe-Okabe 토압은 이 유사정적 접근을 쿨롬 파괴쐐기에 적용한 대표 이론이다. 일본 학자 Mononobe와 Okabe가 제안했고, 이후 Seed와 Whitman이 실무에 맞게 정리했다.

이 이론은 파괴면이 평면이고 흙쐐기가 강체라고 가정한다. 이 가정이 실제 토압의 정확도를 좌우한다. 따라서 답안에서는 가정과 적용 범위를 함께 쓰는 것이 필요하다.

항만, 도로, 지하구조물의 옹벽과 교대 설계에서 이 이론이 널리 쓰인다. 시험에서는 관성력이 토압 계수와 작용점에 들어가는 원리를 묻는다. 정적 토압과의 차이를 k_h, k_v 항과 증분 작用점으로 설명할 수 있어야 한다.

4. 구성요소·원리·절차

Mononobe-Okabe 토압은 지진 시 옹벽 배면 흙의 파괴쐐기에 수평 지진력과 수직 지진력을 함께 작용시켜 정적 쿨롬(Coulomb) 해를 확장한 것이다. 지진의 영향을 등가 정적 관성력으로 치환하는 유사정적법(pseudo-static method)을 쓴다. 따라서 지진 시 주동토압은 정적 토압과 지진에 의한 동적 증분의 합으로 구한다.

구성요소는 아래 표와 같다.

원리는 다음과 같다. 관성력이 중력 방향과 이루는 각을 위상각 θ로 정의한다. 위상각이 커질수록 파괴면이 바뀌고 주동토압계수가 커진다. 수직 지진계수는 흙의 겉보기 중량을 줄이므로 토압을 감소시키는 방향으로 작용한다.

절차는 다음 순서로 진행한다.

• 설계 지진계수 k_h와 k_v를 정한다.
• 위상각 θ = tan⁻¹(k_h/(1−k_v))를 구한다.
• φ, δ, β, i와 θ를 대입해 동적 주동토압계수 K_AE를 구한다.
• 정적 주동토압계수 K_A로 정적 합력을 구하고, 동적 증분을 더한다.
• 정적 합력은 벽 높이의 1/3 지점, 동적 증분은 벽 밑면 부근 관련 기준이 정한 지점에 작용하는 것으로 본다.

Mononobe-Okabe 식은 다음과 같다.

$K_{AE}=\frac{\cos^2(\phi-\theta)}{\cos\theta\cos^2\beta\cos(\delta+\beta+\theta)\left[1+\sqrt{\frac{\sin(\phi+\delta)\sin(\phi-i-\theta)}{\cos(\delta+\beta+\theta)\cos(i-\beta)}}\right]^2}$

여기서 K_AE는 동적 주동토압계수(무차원), φ는 내부마찰각(°), θ는 위상각(°)이다. 동적 합력은 다음과 같다.

$P_{AE}=\frac{1}{2}\gamma H^2(1-k_v)K_{AE}$

여기서 γ는 흙의 단위중량(kN/m³), H는 벽 높이(m), P_AE는 지진 시 전체 주동토압 합력(kN/m)이다. 정적 합력 P_A = ½γH²K_A와 비교하면 동적 증분 ΔP_AE = P_AE − P_A가 된다.

5. 관련 법령·기준·표준

지진 시 옹벽 토압은 국내 설계지진 가속도와 내진설계 기준에서 입력을 받는다. 기준 체계는 KDS 코드로 정리되어 있다. 아래 표는 핵심 값과 적용 범위를 정리한 것이다.

표의 값은 설계 기준에서 지진 구역과 지반 조건에 따라 달라진다. 지진 시 안전율은 정적 안전율과 다르게 적용하므로 해당 기준 조항을 함께 확인해 적용한다. 동적 증분의 작용점을 벽 하부 가까이 두면 벽체 하부에 합력이 집중되어 전도 모멘트가 커진다. 이 점이 정적 해석과 가장 크게 다르다. 설계 실무에서는 k_h와 k_v를 지진구역과 지반 증폭을 반영해 정하고, 그 값을 K_AE 계산에 그대로 대입한다.

__NOTE__

6. 유형과 비교

토압은 벽체 변위 상태와 지진 영향 유무에 따라 여러 이론으로 구한다. Mononobe-Okabe 토압은 Coulomb 토압 이론을 지진 관성력까지 확장한 것이므로, 정적 조건의 Coulomb 토압과 비교해 두면 혼동을 줄일 수 있다.