평균압밀도

왜 배우는가: 평균압밀도는 점토지반의 압밀침하가 시간에 따라 어디까지 진행됐는지를 한 값으로 나타낸다. 실무에서는 성토·구조물 하중 후 잔류침하량과 공사 기간을 예측할 때 쓰며, 시간계수와의 관계는 Terzaghi 압밀이론의 핵심이라 1교시 용어 문제와 2~4교시 논술 문제에 반복해서 나온다.

출제 이력: 제114회 1교시 8번, 제109회 1교시 6번

1. 한 줄 정의와 핵심 키워드

답안 첫 줄 정의 문장:

평균압밀도는 점토층 전체의 압밀침하량이 최종 압밀침하량에 대해 차지하는 비율로, 시간계수 T_v의 함수이다.

핵심 키워드

• 평균압밀도(average degree of consolidation, U)
• 시간계수(time factor, T_v)
• 압밀침하량(consolidation settlement, S_c)
• 최종 압밀침하량(ultimate consolidation settlement)
• 배수거리(drainage path, H_dr)
• 압밀계수(coefficient of consolidation, c_v)
• 일면배수·양면배수

2. 개념 풀이

쉬운 말로 하면, 점토층이 얼마나 다 짜였는지를 백분율로 나타낸 값이다. 점토층 한 점의 압밀 정도는 압밀도(degree of consolidation)로 나타내고, 층 전체의 평균은 평균압밀도로 나타낸다. 평균압밀도는 시간이 지나면서 0%에서 100%로 증가한다.

정식 정의는 측정 시각의 압밀침하량을 최종 압밀침하량으로 나눈 값이다. 식으로 쓰면 다음과 같다.

$U = \frac{S_t}{S_c} \times 100\%$

• S_t: t 시간 후의 압밀침하량 (m)
• S_c: 1차 압밀에 의한 최종 압밀침하량 (m)

평균압밀도 U와 시간계수 T_v의 관계는 배수 조건에 따라 같은 함수 꼴을 따른다. 이 관계는 Terzaghi 1차원 압밀방정식의 해에서 나온다. 시간계수는 다음과 같이 정의한다.

$T_v = \frac{c_v \, t}{H_{dr}^2}$

• c_v: 압밀계수 (m²/day 또는 cm²/min 등 사용 단위 기준)
• t: 압밀 소요 시간
• H_{dr}: 최대 배수거리 (m). 일면배수는 점토층 두께, 양면배수는 두께의 절반이다.

즉 T_v는 무차원수이고, 배수거리가 길수록 같은 U에 도달하는 시간이 제곱에 비례해 길어진다. 이 점이 PVD(연직배수재) 공법이 배수거리를 줄여 압밀시간을 단축하는 원리가 된다.

평균압밀도와 시간계수의 대표 값은 다음과 같다. 50% 압밀에 대한 시간계수는 T_v = 0.197 이다. 90% 압밀에 대한 값은 T_v = 0.848 이다. 이 두 값은 log t 방법과 root t 방법으로 c_v를 구할 때 기준이 된다.

T_v = 0.197 (U = 50%)

3. 등장 배경과 필요성

Terzaghi(1943)는 포화된 점토층의 압축이 간극수가 빠져나가는 속도에 지배된다는 것을 보였다. 하중을 받으면 과잉간극수압이 생기고, 이 수압이 소산되면서 흙입자 골격이 유효응력을 받아 압축된다. 이 과정이 1차 압밀이다.

현장에서는 최종 침하량 자체보다 그 침하가 언제 얼마나 일어나는지가 설계와 시공 관리의 문제가 된다. 성토 후 잔류침하가 허용치 이내로 줄어드는 시점을 알아야 포장, 공정, 계측 관리 시기를 정할 수 있다. 이 시점을 정량적으로 주는 값이 평균압밀도이다.

또한 실내 압밀시험에서 얻은 시간-침하 곡선으로 c_v를 구하면, 평균압밀도와 시간계수의 관계식을 거꾸로 써서 현장 침하 시간을 예측할 수 있다. 그래서 평균압밀도-시간계수 관계는 실내시험과 현장 예측을 잇는 고리 역할을 한다.

이 개념의 선행 지식은 압밀침하 산정과 간극수압 발생 특성이다. 실무에서는 연약지반 개량공법의 설계 기간 산정에 직접 쓰이므로 관련 개념과 함께 학습하는 것이 효율적이다.

4. 구성요소·원리·절차

평균압밀도(Average Degree of Consolidation)는 점토층 전체의 압밀 진행 정도를 한 값으로 나타낸 것이다. 한 점의 압밀도와 달리 층 전체의 최종 압밀침하량에 대한 현재 침하량의 비로 정의한다.

이 표는 평균압밀도 계산에 쓰는 기호를 정리한 것이다. 시간계수는 압밀이 얼마나 빨리 진행되는지를 나타내는 무차원 값이므로, 점토 두께와 배수 조건이 달라도 같은 U에 같은 Tv가 대응한다.

원리는 다음과 같다. 과잉간극수압이 배수 경로를 따라 소산되면 유효응력이 증가하고 간극비가 줄어들어 침하가 발생한다. 평균압밀도는 소산된 과잉간극수압의 면적비로도 정의되지만, 실무에서는 침하량 비로 구한다.

$U = \frac{S_t}{S_c}\times 100\,(\%)$

$T_v = \frac{c_v\,t}{H^2}$

$T_v = \frac{\pi}{4}U^2 \quad (U \le 60\%)$

$T_v = 1.781 - 0.933\log(100-U) \quad (U > 60\%)$

위 식에서 c_v는 압밀계수(m²/day), t는 경과 시간, H는 최대 배수거리(m)다. 배수 조건에 따라 H는 다르게 잡는다. 단면 일면 배수에서는 H가 점토층 두께이고, 양면 배수에서는 H가 두께의 1/2이다. 따라서 같은 두께라도 양면 배수일 때 압밀이 4배 빠르게 끝난다.

절차는 다음과 같다.

• 압밀시험 또는 현장 계측으로 시간-침하 곡선을 얻는다.
• 최종 침하량 Sc를 log t 법 또는 √t 법으로 정한다.
• 시간 t에서 침하량 St를 읽고 U = St/Sc를 구한다.
• U에 대응하는 시간계수 Tv를 식 또는 표에서 구한다.
• 설계 시간 t = Tv·H²/cv로 소요 기간을 예측한다.

평균압밀도는 침하량 비로 정의되고, 시간계수 Tv와 U는 1:1로 대응한다.

5. 관련 법령·기준·표준

평균압밀도 자체는 법령에 수치가 정해진 값이 아니라 Terzaghi 1차원 압밀 이론에서 유도된 계산 방법이다. 1943년 Terzaghi의 이론 이후 정의와 식은 바뀌지 않았다. 실무에서는 국가 설계기준의 지반 침하 산정 조항과 압밀시험 표준 방법에 따라 압밀계수와 배수 조건을 정하고 이 식을 적용한다.

표에서 50%와 95%의 시간계수는 실무 계산에서 가장 자주 쓰는 값이다. 저압밀도 구간 식은 U가 60% 이하일 때 정확하고, 그 이상에서는 대수식을 쓴다. 배수 조건은 H를 정하는 기준이므로 현장 배수 경로를 먼저 확인한 뒤 적용한다.

60% 이하는 π/4·U² 식으로 계산한다.

6. 유형과 비교

평균압밀도 개념은 배수 조건과 점토층의 배수 경로에 따라 시간계수와의 관계가 달라지므로, 배수 조건별로 나누어 비교해야 정확한 답안을 쓸 수 있다. 아래 표는 평균압밀도와 관련된 대표적 배수 조건과 해석 방식을 비교한다.