지중응력 영향계수·압력구근

왜 배우는가: 지중응력 영향계수와 압력구근은 기초 하중이 지반 깊은 곳까지 어떻게 퍼지는지를 설명하는 개념이다. 침하량 산정과 지지력 검토의 출발점이며, 기초 크기와 깊이에 따라 응력 영향범위가 달라지는 원리를 이해해야 한다. 그래서 시험에서 반복해서 묻는다.

출제 이력: 제119회 1교시 7번, 제115회 1교시 5번

1. 한 줄 정의와 핵심 키워드

지중응력 영향계수는 지표면 하중에 의해 지반 내부 한 점에 생기는 응력증가량을 하중 대비 무차원 계수로 나타낸 값이며, 이 계수의 등값선이 압력구근을 이룬다.

핵심 키워드

• 지중응력(Stress in Soil)
• 영향계수(Influence Factor)
• 압력구근(Pressure Bulb)
• 등응력선(Isobar)
• Boussinesq 해
• 탄성 반무한체(Elastic Half-space)
• 응력증가량 \Delta\sigma_z
• 깊이비 z/B

2. 개념 풀이

쉬운 말로 하면, 건물 기초가 흙을 누르면 그 힘이 흙 속으로 퍼져 내려간다. 깊어질수록, 그리고 기초 중심에서 멀어질수록 흙이 받는 추가 응력은 줄어든다. 이 퍼짐을 수치로 계산하려고 쓰는 것이 지중응력 영향계수다.

정식으로 정의하면, 지표면에 작용한 하중 Q 또는 등분포하중 q로 인해 지반 내 임의 점에 생기는 연직응력증가량 \Delta\sigma_z를 다음과 같이 표현한다.

$\Delta\sigma_z = I \cdot \frac{Q}{z^2}$

여기서 I는 영향계수(무차원), Q는 집중하중(kN), z는 지표면에서 해당 점까지의 깊이(m)다. 등분포 하중이면 \Delta\sigma_z = I_\sigma \cdot q 형태로 쓴다.

핵심 용어를 풀이하면 다음과 같다.

• 지중응력: 외력으로 지반 내부에 생기는 응력 상태다. 흙 자중에 의한 응력(초기응력)과 외부 하중에 의한 응력증가로 나뉜다.
• 영향계수: 하중 위치와 점의 상대 좌표로 결정되는 무차원 값이다. 표나 도표로 주어진다.
• 압력구근: 응력증가량이 같은 점들을 이은 등응력선이 구근(bulb) 모양을 이루는 것이다. 구근 안쪽은 바깥보다 응력이 크다.
• Boussinesq 해: 지반을 균질, 등방, 탄성, 무한한 반무한체로 가정하여 집중하중에 의한 응력을 구한 해석해다.

3. 등장 배경과 필요성

지반은 흙 입자와 간극으로 이루어져 있어 응력이 깊이에 따라 분포한다. 기초 설계자는 어느 깊이의 흙이 얼마나 압축되는지 알아야 침하량을 계산할 수 있다. 그러나 흙 속 응력을 직접 측정하기는 어렵고 비용도 크다. 그래서 탄성론에 근거한 해석해와 영향계수 도표가 발전했다.

Boussinesq(1885)의 집중하중 해는 이 분야의 기초가 되었다. 이후 띠하중, 원형 등분포하중, 직사각형 등분포하중에 대한 해가 도표 형태로 정리되었다. 이 계수들로 응력증가량을 구한 뒤 압축층별로 침하량을 합산하는 것이 표준 절차가 되었다.

압력구근의 개념은 기초 크기가 침하 평가에 미치는 영향을 설명한다. 기초가 작으면 구근이 얕게 형성되어 얕은 층만 영향을 받는다. 기초가 크면 구근이 깊어져 깊은 연약층까지 응력이 미친다. 따라서 소형 재하시험 결과를 실제 기초에 그대로 적용하면 침하가 과소평가될 수 있다. 이런 이유로 압력구근은 시험 계획과 침하 예측 모두에서 중요한 판단 기준이 된다.

4. 구성요소·원리·절차

지중응력 해석은 지반 내부에 하중이 작용할 때 깊이와 위치에 따라 응력이 어떻게 줄어드는지를 계산하는 과정이다. 구성요소는 하중의 종류, 재하 형상, 흙의 가정, 계산 위치(깊이 z, 수평거리 r)로 나뉜다. 답안에서는 이 네 요소를 표로 정리하고 원리를 설명한 뒤, 절차를 번호로 제시한다.

표의 구성요소는 서로 독립이 아니다. 같은 하중이라도 계산 위치의 r/z 값이 달라지면 영향계수가 달라지고 응력 증가량도 달라진다.

원리는 Boussinesq 해에서 출발한다. 지반을 무한히 크고 균질하며 탄성이고 등방인 반무한체로 가정한다. 집중하중 P가 지표에 작용할 때 깊이 z 지점의 연직응력 증가량은 다음과 같다.

$\Delta\sigma_z = \frac{3P}{2\pi z^2}\cdot\frac{1}{\left[1+(r/z)^2\right]^{5/2}}\cdot z^3 = \frac{3P z^3}{2\pi (r^2+z^2)^{5/2}}$

여기서 \Delta\sigma_z는 연직응력 증가량(kPa), P는 집중하중(kN), z는 깊이(m), r은 하중 작용점에서 수평거리(m)이다. 식을 정리하면 \Delta\sigma_z = I \cdot P/z^2 형태가 되고, I가 영향계수다. 영향계수 I는 r/z 만의 함수이므로 깊이와 위치가 같은 비율이면 값이 같다.

등분포 하중의 응력은 면적을 분할하여 집중하중의 적분으로 구한다. 직사각형 면적 아래 모서리 점의 값은 Newmark 의 영향계수를 이용하면 쉽게 구한다. 다만 Newmark 영향원 계산 방법은 별도 항목에서 다룬다.

압력구근(Pressure bulb)은 같은 응력 증가량을 가지는 점들을 이은 곡선이다. 하중 아래로 볼록한 구근 모양이 되므로 이름이 붙었다. 구근 안쪽은 바깥쪽보다 응력이 크다. 수평으로 멀어질수록 응력이 급격히 줄어든다.

절차는 다음과 같다.

• 하중 형태와 재하 형상을 결정한다.
• 계산할 깊이 z 를 여러 개 정한다.
• 목표 응력 비율(예: 하중 강도의 10%)에 해당하는 영향계수 값을 구한다.
• 영향계수 값에 대응하는 r/z 를 역산한다.
• z 와 r 쌍을 좌표에 찍고 연결하여 등응력선을 그린다.

도식으로 절차를 정리하면 다음과 같다.

전체 해석의 흐름은 다음 세 단계로 요약된다. 첫째, 하중을 Boussinesq 식에 대입한다. 둘째, 영향계수 I 를 r/z 의 함수로 표시한다. 셋째, 필요한 위치와 깊이에서 응력 증가량을 계산하거나 압력구근을 그린다. 실무에서는 표나 도표로 I 를 읽어 쓰는 경우가 많다.

5. 관련 법령·기준·표준

지중응력 계산은 법령에서 정한 값이 아니라 탄성 이론과 설계기준에서 정한 방법을 따른다. 설계에서는 흙의 종류, 기초 형식, 침하 해석 목적에 따라 방법을 고른다. 국내 설계 기준으로는 기초 설계 기준(KDS) 계열의 지반 해석 규정이 참고된다. 조항 번호는 확실하지 않으므로 기준 이름만 쓴다.

기준값 표는 다음과 같다.

표의 값 중 Boussinesq 식과 압력구근 작도 기준은 탄성 해석의 일반 원리다. 평판재하시험 값은 특정 현장 자료에서 나온 것이므로 일반 설계 기준으로 쓰지 않는다.

개정 연혁은 이 개념에서 큰 의미가 없다. 해석 원리는 Boussinesq 해 이후 바뀌지 않았고, 실무 계산은 소프트웨어로 대체되는 추세다. 다만 설계기준의 명칭과 체계는 바뀔 수 있으므로 시험에서는 현행 기준 이름을 쓴다.

6. 유형과 비교

지중응력 해석은 하중 형태와 해석 가정에 따라 여러 방법으로 나뉜다. 집중하중(Boussinesq), 선하중, 띠하중, 등분포 사각형 재하, 원형 재하 등이 대표 유형이며, 각 유형마다 영향계수 식과 압력구근의 모양이 다르다. 답안에서는 하중 형태별 해석식을 먼저 구분해 쓰는 것이 좋다.