트러스 온도응력

왜 배우는가: 트러스 온도응력은 교량·지붕 트러스에서 온도 변화로 부재에 추가 부재력이 생기는 현상을 다룬다. 실무에서는 온도 상승·하강에 따른 부재 신축이 구속되어 생기는 응력을 검토해야 하며, 시험에서는 부정정 트러스에 온도하중을 주고 부재력을 구하는 문제로 반복해 출제된다.

출제 이력: 제109회 4교시 1번, 제64회 4교시 6번

1. 한 줄 정의와 핵심 키워드

트러스 온도응력은 부재의 온도변화에 따른 자유 신축이 구속될 때 발생하는 축력으로, 부정정 트러스에서 적합조건으로 구한다.

• 트러스 온도응력
• 선팽창계수(Coefficient of Linear Thermal Expansion, α)
• 온도하중(Thermal Load)
• 부정정력
• 적합조건
• 변위일치법
• 부재 축강성(AE)

2. 개념 풀이

쉽게 말하면, 부재가 따뜻해지면 길어지려고 한다. 그런데 주변 부재와 지점이 이 신축을 막으면 부재 안에 힘이 생긴다. 이 힘이 온도응력에 따른 부재력이다.

정식으로는 온도변화 \Delta T를 받는 부재의 자유 변형률이 \varepsilon_T = \alpha \Delta T이고, 이 변형이 구속되어 생기는 응력이 온도응력이다. 정정구조물은 신축이 자유로워 부재력이 생기지 않고, 부정정구조물에서만 부재력이 생긴다.

선팽창계수는 온도 1℃ 변화당 단위 길이의 신축률이다. 강재의 선팽창계수는 적용 기준과 재료 조건에 따라 확인한다. 설계에 적용할 값은 해당 기준을 확인한다.

온도하중은 외부 힘이 아니라 온도변화로 생기는 등가 변형이다. 그래서 외력 전용 구조해석 프로그램은 직접 입력할 수 없고, 등가 절점하중이나 가상 부재 변형으로 바꿔 넣어야 한다.

부정정력은 해석 과정에서 미지수로 잡는 여분 힘이다. 변위일치법에서는 이 부정정력을 적합조건으로 결정한다.

3. 등장 배경과 필요성

교량과 지붕 트러스는 온도가 계절과 낮·밤에 따라 크게 변한다. 강재 트러스는 길이와 온도 변화에 따라 신축량이 커질 수 있다. 지점과 부재가 이 신축을 자유롭게 허용하지 못하면 큰 부재력이 생긴다. 그래서 설계 시 온도하중을 별도 하중 조합으로 검토한다.

과거에는 온도 영향을 무시하는 경우가 있었으나, 부정정 트러스에서는 부재력이 무시할 수 없는 크기가 된다. 현재는 온도하중을 명시적으로 고려하는 것이 기본이다.

온도응력은 최소일의 원리와 변위일치법으로 푸는 전형적인 문제다. 학습 과정에서 부정정 구조 해석의 기초를 함께 익힌다.

4. 구성요소·원리·절차

온도응력은 부재가 자유롭게 늘어나지 못할 때 생긴다. 정정 트러스는 온도가 변해도 부재가 자유롭게 변형하므로 부재력이 생기지 않는다. 따라서 부정정 트러스에서만 온도에 의한 부재력이 발생한다. 핵심은 자유 열신장을 여분 구속력 X가 얼마나 막는지 구하는 것이다. 자유 열신장을 막는 만큼 축력이 생기며, 단순 구속 시 축력은 부재의 축강성과 온도변형에 따라 정해진다.

열하중 부재는 자유 열신장량을 만든다. 부정정력은 이 신장을 되돌리는 방향으로 작용한다. 두 값을 적합조건에 넣어 X를 구한다.

가. 변위일치법 원리

적합조건은 부정정력 방향의 변위가 0이라는 식이다. 열변형 δ_1T와 단위 부정정력에 의한 유연도 δ_11을 사용한다.

$\delta_{1T}=\sum n_i\,\delta_{t,i} \quad (\text{열부재에 대해서만 합})$

$\delta_{11}=\sum \frac{n_i^{2}L_i}{AE}$

$\delta_{11}X+\delta_{1T}=0 \;\Rightarrow\; X=-\frac{\delta_{1T}}{\delta_{11}}$

n_i는 단위 X=1 작용 시 부재력, L_i는 부재 길이(m), A는 단면적(㎡), E는 탄성계수(MPa), α는 선팽창계수(/℃), ΔT는 온도 변화(℃)다. 외력이 없으므로 최종 부재력은 N_i = n_i X이다.

나. 절차 (변위일치법)

• 부정정 차수를 판정하고 제거할 부재 또는 지점을 정해 부정정력 X를 택한다.
• 열하중 부재에만 온도변화를 준 해제 구조에서 X 방향 변위 δ_1T를 계산한다.
• 같은 구조에 X=1을 작용시켜 부재력 n_i와 δ_11을 구한다.
• 적합조건으로 X를 구한다.
• N_i = n_i X로 나머지 부재력을 구하고, 절점 평형(ΣF = 0)을 확인한다.

다. 절차 (등가절점하중법, 외적하중 전용 프로그램)

외적하중만 받는 프로그램은 온도를 직접 입력할 수 없다. 따라서 온도를 등가 절점하중으로 바꾼다.

• 열하중 부재 i의 양 끝에 자유 열신장을 상쇄하도록 작용하는 등가 축력을 계산한다.
• 이 힘을 해당 절점의 외력으로 구조 전체에 입력한다.
• 외적하중 해석을 수행하여 부재력 N_i를 얻는다. 이 값이 온도 부재력이다.
• 부호는 해석의 부호 규약에 따라 일관되게 정한다.
• 필요하면 절점 변위도 같은 해석 결과에서 얻는다.

양단 고정 부재를 검산하면 온도 변화에 따른 부재력이 발생하여 등가절점하중법 결과와 일치한다. 두 방법은 같은 부정정 구조에 같은 값을 준다.

라. 적용 범위와 한계

온도 분포가 부재 단면 안에서 균일하다고 가정한다. 단면 안에 온도 구배가 있으면 별도 해석이 필요하다. 결과는 축강성 가정에 의존하므로 단면적 또는 탄성계수가 부재마다 다르면 AE를 부재별로 넣는다. 가열되지 않은 부재에는 등가력이 없으며, 부재력은 기하 형상과 강성 비로 분배된다.

5. 관련 법령·기준·표준

온도응력은 법령 조문보다 설계기준의 온도 하중 조항과 재료 물성값에 근거한다. 국내 설계 실무는 국가건설기준의 KDS 코드 체계를 따른다. 조항 번호는 확인되지 않았으므로 기준 이름만 쓴다.

각 항목은 설계 실무에서 해당 기준을 확인해 적용한다. 적용 전 해당 설계기준의 최신판과 대조한다. 강교 온도변화 범위는 해당 교량 설계기준에 따라 정하며, 조항 번호는 확인하지 않았다.

온도 하중은 구조물 종류와 지역에 따라 기준이 다르다. 강교와 콘크리트 교량의 온도변화 범위는 서로 다르므로 구조물마다 따로 정한다. 강과 콘크리트가 합성된 부재는 두 선팽창계수를 각각 넣어 추가 온도응력을 구한다.

부호 규약은 해석 프로그램마다 다를 수 있다. 인장을 +로 두는지, 압축을 +로 두는지 먼저 확인한다. 설계기준 값은 개정에 따라 바뀔 수 있으므로 과거 기준과 비교할 때는 개정 번호를 함께 기록한다.

6. 유형과 비교

온도응력을 받는 트러스는 정정 트러스와 부정정 트러스로 나눠 해석 방법을 달리한다. 정정 트러스는 온도 변화에 의해 부재가 자유롭게 늘어나므로 부재력이 생기지 않는다. 부정정 트러스는 부재 길이 변화가 구속되어 부정정력(redundant force)이 생기고, 이 부정정력이 부재력을 결정한다.

정정 구조는 온도 변화로 부재력이 생기지 않는다는 점을 먼저 확인해야 한다. 부정정 구조에서만 적합조건을 세워 부정정력을 구한다.

온도응력 해석은 부정정력을 기준으로 두 가지 방법으로 나뉜다. 응력법(힘법)은 부정정력을 미지수로 하고, 변위법은 격점 변위를 미지수로 한다. 소규모 부정정 트러스에는 응력법이 편리하다.