라멘구조 반력

왜 배우는가: 라멘구조는 기둥과 보가 강접합된 골조로, 고층건축과 넓은 개구부 설계에 널리 쓰인다. 지점반력이 정해져야 기초와 지점부를 설계할 수 있다. 라멘 반력은 평형식만으로 풀리지 않는 부정정 문제로 자주 출제되므로, 정정·부정정 판별과 변형 조건을 쓰는 순서를 익혀 두어야 한다.

출제 이력: 제123회 1교시 13번, 제91회 3교시 6번

1. 한 줄 정의와 핵심 키워드

라멘구조 반력은 강접합된 기둥과 보로 이루어진 골조의 지점에서 평형조건과 변형조건으로 구하는 수직·수평 반력과 반력 모멘트이다.

핵심 키워드

• 라멘구조
• 강접합(강절점)
• 지점반력
• 평형조건식
• 부정정 차수
• 고정단 모멘트
• 변위 적합 조건

2. 개념 풀이

쉬운 말로 풀면 라멘은 기둥과 보가 모서리에서 한 덩어리로 붙은 뼈대다. 지점반력은 이 뼈대를 기초나 바닥이 받쳐 주는 힘이다. 라멘의 반력은 지점 종류에 따라 개수가 정해진다.

정식 정의는 다음과 같다. 평면 라멘은 절점에서 부재의 회전이 함께 일어나고 모멘트가 전달되는 강접합 골조다. 평면 구조물의 힘의 평형조건은 ΣH=0, ΣV=0, ΣM=0의 3개다.

• 강접합(강절점): 절점에서 부재끝 회전각이 같이 변하며 휨모멘트가 전달되는 접합 방식이다. 기둥과 보 사이 모멘트가 전달되므로 라멘이 횡하중에 저항한다.
• 정정 구조물: 평형조건식만으로 반력과 부재력을 모두 구할 수 있는 구조물이다. 반력 미지수가 3개 이하일 때 해당한다.
• 부정정 구조물: 평형조건식만으로는 풀 수 없고 변형 조건을 추가해야 하는 구조물이다. 강접합 라멘 대부분이 여기에 속한다.

지점의 종류에 따라 반력 개수가 다르다. 힌지지점은 수평과 수직 반력 2개, 이동지점은 수직 반력 1개, 고정지점은 수평·수직 반력과 반력 모멘트 3개가 생긴다. 고정지점은 고정지점 반력 3개로 세는 것이 기본이다.

외적 부정정 차수는 다음과 같이 구한다. 평면 구조물에서 외적 부정정 차수는 반력 미지수 수에서 평형식 수 3을 뺀 값이다.

$$ n_{ext} = r - 3 $$

여기서 r은 지점반력의 미지수 개수다. n_{ext}가 0이면 외적 정정, 양수이면 외적 부정정이다. 라멘은 폐합 루프가 있으면 내적으로도 부정정이 될 수 있으므로 내적 부정정 여부도 함께 확인해야 한다.

부정정 라멘 반력을 구하는 방법은 크게 세 가지다. 첫째는 처짐각법처럼 절점 회전각과 횡변위를 미지수로 두고 평형식을 세우는 방법이다. 둘째는 부정정 반력을 여분 미지수로 두고 변위 적합 조건으로 구하는 응력법이다. 셋째는 모멘트분배법처럼 고정단 모멘트를 반복 분배하여 근사해를 구하는 방법이다.

실험 리포트에서도 대칭 라멘의 중앙에 수직하중을 가하면 하중 증가에 따라 지점 수평반력이 변한다. 이 결과는 평형식만으로 반력이 정해지지 않는다는 점을 보여 준다. 시험 답안에서는 정정 여부를 먼저 쓰고, 부정정이면 어떤 변형 조건을 쓸지 밝혀야 점수를 받는다.

3. 등장 배경과 필요성

근대 고층건축은 평면 배치의 자유도와 넓은 개구부 확보를 요구했다. 이 요구를 만족하는 구조 형식으로 강접합 라멘이 널리 채택되었다. 기둥과 보를 강접합하면 벽체 없이도 수평하중에 저항하는 뼈대를 만들 수 있다.

라멘이 골조로 횡하중을 받으면 지점에 수평 반력과 반력 모멘트가 함께 생긴다. 이 값을 알아야 기초의 전도와 활동, 지반 지지력을 검토할 수 있다. 따라서 라멘 반력 해석은 구조 안전성과 기초 설계의 출발점이 된다.

강접합 골조는 평형식만으로 풀리지 않는 부정정 구조가 된다. 부재 길이와 휨강성이 반력 분배에 영향을 주기 때문이다. 그래서 변형을 고려하는 해석법이 필요해졌다.

계산을 손으로 해야 하던 시기에는 반복 근사법이 중요했다. 모멘트분배법은 고정단 모멘트에서 시작해 불균형 모멘트를 순차적으로 분배하는 방법이다. 이 방법은 처짐각법을 발전시킨 것으로, 수계산에 편리하다는 장점이 있다.

현재는 행렬 강성법으로 전산해석을 수행하는 것이 일반적이다. 그러나 전산 결과가 맞는지 확인하려면 정정 여부 판별, 고정단 모멘트, 처짐각 방정식 같은 손계산 원리를 알아야 한다. 시험에서 이 원리를 묻는 이유도 여기에 있다.

4. 구성요소·원리·절차

라멘구조는 기둥과 보가 강절점으로 연결된 골조다. 절점에서 부재끼리 회전이 구속되므로 평형 세 조건만으로는 부재력을 구할 수 없다. 해석에는 절점 회전각과 부재 재단모멘트의 관계를 세우는 방법이 쓰인다. 대표 방법은 처짐각법, 모멘트 분배법, 강성법이다. 지점반력은 부재단력을 얻은 뒤 평형조건으로 정리한다.

구성요소를 표로 정리하면 다음과 같다.

표의 칸은 부재 역할을 짧게 적었다. 강절점은 절점에서 모든 부재가 같은 회전각을 가지는 조건을 만든다.

처짐각법의 원리는 다음과 같다. 부재 양단 모멘트를 고정단모멘트와 절점 회전각, 부재 상대변위의 함수로 표시한다. 이를 절점 모멘트 평형식에 대입해 회전각을 구한다. 횡변위가 있으면 전단 평형식을 추가한다.

처짐각법 절차는 다음과 같다.

• 미지 회전각과 횡변위 자유도를 정한다.
• 각 부재의 고정단모멘트를 구한다.
• 부재단 모멘트를 처짐각 방정식으로 표시한다.
• 절점 모멘트 평형식과 층 전단 평형식을 세운다.
• 연립하여 회전각을 구하고 재단모멘트를 계산한다.
• 재단모멘트로 부재 전단력과 지점반력을 구한다.

처짐각 방정식의 기본형은 다음과 같다.

$M_{ij}=M_{ij}^{F}+\frac{2EI}{L}(2\theta_i+\theta_j-3\psi)$

여기서 M_{ij}는 i단 재단모멘트(N·mm), M_{ij}^{F}는 i단 고정단모멘트(N·mm), E는 탄성계수(N/mm²), I는 단면 2차모멘트(mm⁴), L은 부재 길이(mm), \theta는 절점 회전각(rad), \psi는 부재 현회전각(rad)이다. 부호는 시계방향 회전과 모멘트를 양으로 한다.

모멘트 분배법은 같은 결과를 반복 계산으로 얻는다. 고정단모멘트에서 출발해 불균형 모멘트를 강비에 따라 분배하고 원단으로 전달한다. 분배율은 부재 강비 k=I/L에 비례한다. 수계산에 편리하지만 횡변위 처리에는 불편하다.

지점반력은 부재단력을 구한 뒤 힘 평형조건으로 계산한다. 수평반력과 수직반력은 각 부재의 전단력과 축력의 합으로 얻는다. 절점 평형을 만족하는지 한 번 더 확인한다.

재단모멘트를 구한 뒤 평형조건으로 지점반력을 정리한다

다음 도식은 해석 절차를 흐름으로 보인다.

5. 관련 법령·기준·표준

라멘 해석은 법령 기준이 아니라 구조역학 이론과 설계기준의 하중·안전율을 따른다. 아래 표는 해석에 쓰는 기본 기준값과 적용 조건을 모은 것이다. 표 안의 값은 교재 표준 이론식이며, 설계 적용 시 해당 설계기준(KDS)의 최신 개정판을 확인해야 한다.

표 아래 설명을 덧붙인다. 고정단모멘트 값은 하중 형식에 따라 달라지므로 부재마다 하중을 분리해 계산한다. 부정정 차수 판정은 지점반력 수와 평형식 수를 함께 세야 한다.

강절점 골조의 설계하중은 KDS 기준의 하중조합에 따른다. 해석 결과의 안전성은 해당 설계기준의 허용응력 또는 강도 설계법으로 검토한다. 이 절에서는 해석 기준식만 다룬다.

6. 유형과 비교

라멘은 부재의 연결 방식과 형상에 따라 여러 유형으로 나뉜다. 기둥과 보가 강절점으로 연결된 골조는 대부분 부정정이며, 해석 방법을 고르기 전에 부정정 차수와 횡변위 여부를 먼저 확인한다. 아래 표는 라멘을 구조역학적으로 분류한 것이다.