교각 등가강성

왜 배우는가: 교각 등가강성은 교량 전체 골조를 단순한 스프링으로 치환해 해석과 설계를 분리하는 데 쓴다. 지진 해석의 고유주기와 수평력 분배를 결정하므로 시험에서 반복해 출제된다.

출제 이력: 제134회 2교시 4번, 제91회 1교시 8번

1. 한 줄 정의와 핵심 키워드

교각 등가강성은 교각 머리에 작용한 횡력과 그로 인한 횡변위의 비로 정의하는 교각 전체의 횡방향 강성이다.

답안 첫 줄에는 이 정의를 그대로 쓴다. 교각은 상부구조의 하중을 기초로 전달하는 기둥이며, 유수나 지진에 대해서도 버텨야 한다. 수평력에 대한 저항을 하나의 스프링 값으로 나타내면 교량 전체 해석이 간단해진다. 등가강성은 여러 기둥, 코핑, 기초가 함께 만드는 횡강성을 한 값으로 묶은 것이다.

핵심 키워드

• 교각
• 등가강성
• 횡방향 강성
• 기둥 휨강성
• 캔틸레버 기둥
• 코핑
• 고정단
• 교축 직각방향

2. 개념 풀이

쉬운 말로 풀면, 교각 머리를 옆으로 밀 때 얼마의 힘이 필요한지를 나타내는 값이다. 바람, 지진, 제동력 같은 수평력이 교량에 작용하면 교각 머리가 교축 직각방향으로 밀린다. 교각이 이 밀림에 얼마나 잘 버티는지를 강성으로 나타낸 것이 등가강성이다. 강성이 클수록 같은 힘에 대한 변위가 작다.

정식 정의는 다음과 같다. 교각 머리에 교축 직각방향 수평력 P를 가했을 때 머리의 횡변위를 δ라 하면, 교각 등가강성은 K = P/δ로 정의한다. 힘은 N, 변위는 mm 단위로 쓰면 강성은 N/mm가 된다. 단위계를 맞추지 않으면 계산 결과가 틀어진다.

핵심 용어 풀이는 다음과 같다.

• 등가강성: 여러 부재로 이루어진 교각을 횡력과 횡변위 관계만 남기고 하나의 스프링으로 치환한 강성이다. 상부 해석 모델을 단순하게 만든다.
• 캔틸레버 기둥: 밑단은 고정되고 머리는 자유로운 기둥이다. 교각 한 본의 횡강성은 이 모델로 구한다. 머리에 수평력 P가 작용하면 밑단의 휨모멘트는 P·h가 된다.
• 고정단 조건: 기초의 휨강성이 기둥보다 매우 커서 기둥 밑단의 변위와 회전이 없다고 보는 조건이다. 문항 그림의 구속 조건을 확인한 뒤 이 조건의 적용 여부를 판단한다.

코핑·기초 휨강성 무한대이면 기둥 머리 변위가 같아진다.

이 조건에서 여러 기둥은 같은 변위를 공유하는 병렬 스프링이 된다. 따라서 각 기둥의 강성을 더하면 교각 전체의 등가강성이 된다. 문항의 콘크리트 탄성계수는 Ec = 30,000 MPa 이며, 이 값을 단일 기둥 강성식의 E에 그대로 대입한다.

단일 기둥의 횡강성은 머리에 P를 가한 캔틸레버 해석에서 얻는다. 기둥 높이 h, 단면 2차 모멘트 I, 탄성계수 E인 기둥의 머리 변위는 δ = Ph³/(3EI)이므로 강성은 다음과 같다.

$K_i = \frac{3E_cI_i}{h^3}$

기호의 뜻은 다음과 같다. E_c는 콘크리트 탄성계수(N/mm²), I_i는 i번째 기둥의 교축 직각방향 단면 2차 모멘트(mm⁴), h는 기둥 높이(mm)이다. 기둥이 n개이면 전체 등가강성은 K=\sum_{i=1}^{n} K_i 이다.

강성은 기둥 높이의 세제곱에 반비례한다. 기둥 높이가 두 배가 되면 강성은 1/8로 줄어든다. 같은 교각 안에서도 기둥 높이가 다르면 짧은 기둥이 수평력을 대부분 받는다. 이 점은 단주 효과로 불리며 설계 검토에서 자주 확인한다.

3. 등장 배경과 필요성

교량을 3차원 골조로 모델링하면 교각 수와 종류가 많을 때 해석 모델이 커진다. 교각 머리를 등가 스프링으로 치환하면 상부구조 해석과 교각 설계를 나눠 수행할 수 있다. 이 분리가 실무에서 교각 등가강성을 쓰는 첫 번째 이유다.

둘째, 교량의 높이와 경간이 커지면서 교각 강성의 영향이 커졌다. 고교각과 대경간에서는 동바리 없이 가설하는 FCM, MSS, ILM 같은 공법이 쓰인다. 이들 공법은 시공 중 교각의 횡방향 거동을 함께 검토해야 한다. 교각 강성이 낮으면 시공 단계의 횡변위가 커져 상부 거더의 위치 관리가 어려워진다.

셋째, 교각 강성은 수평력의 분배를 결정한다. 같은 수평력이 작용해도 강성이 큰 교각이 더 많은 힘을 받는다. 연속교에서 교각 강성이 서로 다르면 제동력이나 온도 변위에 의한 수평력이 특정 교각에 집중될 수 있다. 이 집중을 확인하는 것이 설계 검토의 핵심이다.

넷째, 지진 해석에서 교각 강성은 고유주기를 정한다. 교각에 붙은 상부 질량을 m, 등가강성을 K라 하면 1자유도로 근사한 고유주기는 T = 2\pi\sqrt{m/K} 이다. 강성이 작아지면 주기는 길어지고, 응답 스펙트럼에서 받는 가속도도 달라진다.

다섯째, 실제 기초는 회전 스프링을 가지므로 기초 휨강성을 무한대로 보는 가정은 설계 초기 검토에서 쓰는 이상화다. 기초 회전의 영향이 큰 교각은 기초 강성을 따로 반영해 등가강성을 보정한다.

이 이유들로 교각 등가강성은 교량 해석과 시공 검토에서 반복해 쓰인다. 기둥 개수와 높이가 바뀌어도 같은 식으로 강성을 다시 구할 수 있다는 점이 실무에서 편리하다. 구성 부재와 계산 절차는 4절에서 다룬다.

4. 구성요소·원리·절차

교각 등가강성은 교각 전체가 상부구조 상단의 수평력에 얼마나 저항하는지를 한 개의 스프링 값으로 나타낸 것이다. 상부구조 해석에서는 교각을 등가 스프링으로 치환해 입력한다. 치환에 쓰는 구성요소와 각 역할은 아래 표와 같다.

코핑과 기초의 휨강성이 기둥보다 매우 크다고 가정하면, 기둥은 상·하단이 모두 회전 구속된 상태에서 상단만 수평 이동하는 것으로 본다. 이때 한 개 기둥의 횡강성은 12EcI/H^3 이다. 여기서 E_c 는 콘크리트 탄성계수(MPa), I 는 기둥 단면의 도심축에 대한 단면 2차모멘트(m^4), H 는 기둥 높이(m)이다.

$k_i=\frac{12E_cI_i}{H_i^3}$

$K_{eq}=\sum_{i=1}^{n}k_i$

기둥이 n개이면 같은 변위를 받는 병렬 스프링으로 보고 강성을 합산한다. 기둥 높이와 단면이 모두 같으면 K_{eq}=n\cdot 12E_cI/H^3 이다. 기둥 상단이 코핑에 구속되지 않고 자유로운 독립 기둥이라면 강성은 3EcI/H^3 으로 줄어든다. 따라서 코핑의 연결 조건을 먼저 확인해야 한다.

계산 절차는 다음과 같다.

• 기둥 단면과 기둥 높이 H 를 정하고, 단면 2차모멘트 I 를 산정한다.
• 콘크리트 탄성계수 E_c 를 설계기준값으로 정한다.
• 기둥 상·하단의 구속 조건을 판단한다(코핑·기초 강성 무한대이면 양단 회전 구속).
• 기둥 한 개의 횡강성 k_i=12E_cI/H^3 을 구한다.
• 기둥 개수만큼 합산해 교각 등가강성 K_{eq} 를 구하고, 상부구조 해석 모델의 스프링으로 입력한다.

계산 예제(가상의 값): 원형 기둥 직경 1.5m, 기둥 높이 8m, 기둥 2개, E_c=30{,}000 MPa 이라고 하자.

• I=\pi D^4/64=\pi(1.5)^4/64=0.2485 m^4
• E_cI=30{,}000 MPa \times 0.2485 m^4=7.455\times10^6 kN·m^2 (1 MPa = 1,000 kN/m^2 이므로 30{,}000\times10^3 kN/m^2 \times 0.2485)
• 기둥 1개: k=12\times7.455\times10^6/8^3=174{,}700 kN/m
• 기둥 2개: K_{eq}=2\times174{,}700\approx3.49\times10^5 kN/m

결과 확인: 기둥 1개의 강성이 약 17만 kN/m 이면 직경 1.5m 기둥으로서 상식 범위 안이다.

다음 도식은 등가강성 산정의 흐름을 보인다.

5. 관련 법령·기준·표준

교각 설계는 도로교설계기준(하부구조 편)과 콘크리트구조기준(KDS 14 계열)을 따른다. 조항 번호는 확실하지 않으므로 기준 이름만 쓴다. 교각 강성 산정 자체는 법령 조문보다 구조역학 공식과 설계 관행에 의한다. 기준에서 확인해야 할 값은 아래 표와 같다.