트러스 변위해석

왜 배우는가: 트러스 변위해석은 가상일의 원리와 단위하중법을 트러스 부재에 적용하는 대표 문제로, 구조역학 기술사 시험에서 1교시 계산형과 3교시 논술형으로 반복해 출제된다. 실무에서는 트러스 교량과 지붕 구조의 처짐 검토, 설계 허용처짐 확인에 쓰인다. 부재력 산정과 적분 없는 합 계산 순서를 익혀 두면 여러 문항에 같은 틀을 적용할 수 있다.

출제 이력: 제68회 3교시 6번, 제65회 1교시 13번

1. 한 줄 정의와 핵심 키워드

트러스 변위해석은 절점에 단위하중을 가한 가상계의 부재력과 실제계의 부재 변형량을 곱해 합하는 단위하중법으로 절점 변위를 구하는 방법이다.

핵심 키워드

• 단위하중법(unit dummy force method)
• 가상일의 원리(principle of virtual work)
• 부재력(member force)
• 축강성(axial rigidity, EA)
• 절점 변위(nodal displacement)
• 부재 변형량(member deformation)
• 단위 절점 하중(unit nodal load)
• 내적 가상일과 외적 가상일의 등식

2. 개념 풀이

쉬운 말로 하면, 트러스의 한 점이 얼마나 움직였는지를 그 점에 가상의 단위 하중 하나만 걸었을 때 생기는 부재력으로 재는 방법이다. 실제 하중으로 생긴 부재의 늘음과 줄음에 가상 부재력을 곱해 모두 더하면 원하는 변위가 나온다.

정식 정의는 다음과 같다. 구하고자 하는 변위 r의 방향으로 단위하중을 재하한 가상계를 만들고, 외적 가상일과 내적 가상일이 같다는 가상일의 원리로 r을 구한다. 근거 문헌도 이 관계를 가상일의 원리에서 직접 유도한다고 적는다.

핵심 용어를 풀면 다음과 같다.

단위하중은 구하려는 변위 방향에 가한 크기 1의 하중이다. 실제 하중과 독립된 가상의 힘이다.

가상 부재력은 단위하중만 작용할 때 각 부재에 생기는 축력이다. 이 값은 평형을 만족해야 하며, 정정 트러스에서는 절점 평형식만으로 정해진다.

부재 변형량은 실제 하중에 의해 각 부재가 늘거나 줄어든 양이다. 축력 N에 길이 L을 곱하고 축강성 EA로 나눈 값으로 구한다.

근거 문헌의 설명처럼 B 행렬의 성분이 단위 절점 하중과 평형을 이루는 부재력이라는 점이 이름의 유래다. 트러스에서는 이 성분이 가상 부재력에 해당한다.

3. 등장 배경과 필요성

구조물의 변위를 구하는 방법은 카스틸리아노의 정리, 처짐각법, 에너지법 등이 있다. 카스틸리아노의 제2정리는 변형에너지를 하중으로 편미분하는 방식이라 선형 탄성 구조에 적용이 쉽다. 반면 단위하중법은 선형과 비선형 거동 모두에 적용할 수 있고, 온도 변화와 같은 환경 효과도 포함할 수 있어 더 일반적인 방법으로 소개된다.

트러스는 부재가 힌지로 연결되어 모든 부재가 축력만 받는 구조다. 이 특성 때문에 부재력과 부재 변형량을 간단한 대수식으로 얻을 수 있다. 그래서 적분 없이 합산만으로 절점 변위를 계산할 수 있고, 시험에서도 계산 과정이 명확하게 채점된다.

실무에서는 설계 하중 아래 트러스 절점의 처짐을 확인하거나, 온도 변화와 부재 오차가 변위에 미치는 영향을 계산할 때 이 방법을 쓴다. 정적 평형식만으로 부재력을 정할 수 없는 부정정 트러스에서는 단위하중 부재력의 해가 유일하지 않으므로, 기본계를 정해 평형 행렬의 역행렬로 부재력을 구하는 절차가 필요하다.

EA는 축강성, 단위는 tonf 또는 kgf·cm²로 두고 계산하는 것이 기본이다. 단면적 단위(cm²)와 탄성계수 단위(kgf/cm²)를 맞춘 뒤 부재 길이 단위(cm)로 통일해야 변위의 단위가 맞는다.

4. 구성요소·원리·절차

트러스 변위해석의 구성요소는 실제 부재력, 가상 부재력, 부재의 축강성 세 가지다. 이 셋을 단위하중법으로 묶어 절점의 변위를 구한다. 가상의 단위하중을 쓰므로 바탕은 가상일의 원리다. 트러스 부재는 축력만 받으므로 각 부재의 변형은 축방향 늘음이나 줄음으로만 나타난다.

위 표의 네 값을 부재마다 구하면 변위 계산이 끝난다. 부재력 N과 n은 같은 부호 규약으로 써야 한다. 한쪽은 인장 +, 다른쪽은 압축 +로 쓰면 결과 부호가 틀어진다.

원리는 가상일의 원리다. 구하려는 점과 방향에 단위하중 1을 재하하면 외적 가상일은 1×δ가 된다. 내적 가상일은 가상 부재력 n이 실제 변형 NL/(EA)를 따라 하는 일의 합이다. 두 일이 같으므로 다음 식이 성립한다.

$\delta = \sum \frac{n_i N_i L_i}{E_i A_i}$

기호: δ는 구하는 변위, n_i는 가상 부재력(단위하중 1 기준), N_i는 실제 부재력, L_i는 부재 길이, E_i는 탄성계수, A_i는 단면적이다. 모든 부재의 EA 일정 조건이면 식은 δ = (1/EA)·Σ(nNL)로 줄어든다.

가상 부재력 n은 구할 방향에 단위하중 1을 둔 상태에서 구한다

절차는 다음과 같다.

• 구하려는 변위의 위치와 방향을 정한다. 연직처짐이면 연직, 수평변위면 수평 방향이다.
• 실제 하중만 작용한 상태에서 모든 부재력 N을 절점법이나 단면법으로 구한다.
• 같은 절점에 구할 방향으로 단위하중 1을 재하하고 가상 부재력 n을 구한다. 지점 조건은 실제 상태와 같게 둔다.
• 부재별로 nNL/(EA)를 계산한다. 하중을 제거한 가상 상태와 실제 상태의 부호 규약이 같은지 확인한다.
• 전 부재의 값을 합산한다. 결과가 양(+)이면 단위하중 방향과 같은 방향 변위다.

수평변위와 연직변위는 방향이 다르므로 단위하중을 방향마다 따로 재하하고 두 번 해석한다. 두 성분을 얻으면 합성변위는 δ = √(δx² + δy²)로 구한다. 가상 상태에서 지점 반력을 다시 구해야 하며, 실제 상태의 반력을 그대로 쓰면 n 값이 틀린다. 지점 침하와 온도 변화가 없다는 조건을 답안에 명시하면 채점 감점을 줄일 수 있다.

5. 관련 법령·기준·표준

트러스 변위해석 자체는 법령의 수치를 쓰지 않는 역학 계산이다. 답에 필요한 기준값은 강재 탄성계수, 단위 환산, 부호 규약에서 나온다. 설계 단계의 허용 처짐은 해당 설계기준을 따른다. 아래 표는 문제 조건과 공학 관행으로 정리한 값이다.

단위 환산은 계산 전에 끝내야 한다. 예를 들어 EA = 30,000tonf는 30,000×1,000kgf = 3×10^7kgf이고, 여기에 9.80665를 곱하면 약 2.94×10^8N이다. 결과가 상식 범위인지 확인하려면 강재의 E를 SI 단위로 환산해 단위가 일치하는지 본다.

강재 탄성계수를 설계기준 값으로 바꿔 쓰는 경우에는 문제 조건이 우선이다.

6. 유형과 비교

트러스 변위해석은 해석 방법의 종류에 따라 단위하중법(가상일의 원리), 카스틸리아노의 제2정리, 변위법(직접강성법)으로 나뉜다. 세 방법은 같은 변위를 주지만 계산 절차와 적용 범위가 다르므로 시험에서는 방법을 명시하고 그 방법의 절차를 따라 답해야 한다.