Bewley 격자도

왜 배우는가: 송전선로에서 가공선과 지중케이블이 만나는 곳이나 임피던스가 바뀌는 곳은 서지가 반복 반사되는 지점이다. 이 지점의 전위를 알아야 피뢰기 위치와 절연협조를 정할 수 있어서 시험에 반복해 나온다.

출제 이력: 제110회 4교시 1번, 제99회 3교시 5번

1. 한 줄 정의와 핵심 키워드

격자도는 임피던스가 바뀌는 변경점마다 진행파의 반사와 투과를 시간 순으로 추적해 변경점의 전압을 구하는 도식 해법이다.

핵심 키워드: 진행파, 특성임피던스, 반사계수, 투과계수, 변경점, 왕복 주행시간, 결합점 전위, 격자도(Lattice Diagram).

2. 개념 풀이

쉬운 말로 하면 전선의 종류나 굵기가 바뀌는 곳에 서지가 도달하면 일부는 되돌아가고 일부는 넘어간다. 이 되돌아감과 넘어감을 시간 순서대로 그린 것이 격자도다.

정식 정의는 다음과 같다. 격자도는 Bewley가 고안한 방법으로, 선로 구간마다 진행파가 변경점에서 반사와 투과를 되풀이하는 과정을 시간과 거리의 격자 위에 표시한다. 이렇게 임의 시각, 임의 지점의 전압과 전류를 구한다.

핵심 용어는 두 가지다. 반사계수는 입사파 전압에 대한 반사파 전압의 비다. 특성임피던스 Z1인 선로에서 Z2인 선로로 진행할 때 전압 반사계수는 Γ=(Z2−Z1)/(Z2+Z1)이다. 여기서 Z1, Z2는 각 선로의 특성임피던스(Ω)다.

투과계수는 입사파 전압에 대한 투과파 전압의 비다. 같은 조건에서 전압 투과계수는 τ=2Z2/(Z2+Z1)이다. 두 계수는 입사파의 크기가 아니라 Z1과 Z2만으로 정해진다. 따라서 격자도에서는 각 변경점마다 두 계수를 한 번씩 적용한다.

끝단이 개방되면 전압 반사계수는 개방단 Γ=+1이다. 끝단이 단락되면 단락단 Γ=−1이다. 개방단에서는 반사파가 입사파와 같은 극성으로 더해져 전압이 두 배에 가까워진다.

3. 등장 배경과 필요성

송전선로에 낙뢰나 개폐 서지가 들어오면 그 파는 진행파가 된다. 선로가 균일하면 반사가 거의 없어 전압 분포를 단순하게 볼 수 있다. 그러나 가공선과 지중케이블의 결합점, 선로 끝의 변압기, 조상설비 연결점처럼 특성임피던스가 달라지는 곳에서는 파가 여러 번 반사된다.

한 번의 반사마다 전압이 새로 정해지므로 구간이 많아지면 식으로 전부 적기가 어렵다. 파동 방정식을 경계조건별로 직접 푸는 방법은 변경점이 많은 선로에서 계산이 복잡해진다. 격자도는 이 문제를 도식으로 바꾼다. 주행 시간마다 파가 도착하는 위치를 계단 모양으로 그리고, 각 도착점에서 반사계수와 투과계수를 곱해 다음 파를 만든다.

가공선에서 지중케이블로 들어가는 경우가 대표적이다. 케이블의 특성임피던스는 가공선보다 작으므로 반사계수가 음(−)이 된다. 반사파의 극성이 바뀌어 결합점 전압이 입사파보다 낮아지는 구간이 생긴다. 이 결과가 케이블 절연과 결합점 보호에 직접 영향을 준다.

설계 단계에서는 피뢰기의 설치 위치와 절연협조에 필요한 결합점 최대 전위를 빠르게 추정해야 한다. 격자도는 이런 추정을 손으로 계산할 수 있게 해 준다. 또한 왕복 주행시간을 알면 전압 최대값이 나타나는 시각도 함께 구할 수 있다.

4. 구성요소·원리·절차

가공선과 지중선이 접속된 점에서 진행파는 반사와 투과를 동시에 겪는다. Bewley 격자도는 이 반사·투과를 시간축과 위치축 위에 그려, 접속점과 선로 각 지점의 전위를 순서대로 구하는 도식법이다. 답안에서는 진행파, 반사계수, 투과계수, 격자도를 핵심어로 쓴다.

표 아래 설명: 반사계수는 Z_2 가 Z_1 보다 크면 양의 값이 되어 전압이 높아진다. 반대로 Z_2 가 작으면 음의 값이 되어 전압이 낮아진다. 투과계수는 항상 1보다 크거나 같으며, 접속점 뒤쪽 전압을 정하는 계수다.

격자도의 원리는 다음과 같다. 가로축은 시간, 세로축은 위치(선로 길이)로 잡는다. 파가 선로를 이동하는 직선의 기울기는 1/v 이다. 파가 접속점이나 선로 끝에 도달할 때마다 반사계수 또는 투과계수를 곱해 새로운 파를 그리고, 그 파가 다시 다른 끝점에 닿을 때까지 반복한다. 각 파의 합이 특정 지점의 전위가 된다. 이 과정을 V(t)=\sum e_k 로 표현한다. 여기서 e_k 는 시각 t 까지 해당 지점에 도달한 모든 파의 전압이다.

절차는 다음과 같다.

• 선로별 특성 임피던스와 길이를 정하고, 전파시간 t=l/v 를 구한다.
• 각 접속점과 선로 끝에서 \Gamma 와 \tau 를 계산한다.
• 시간축에 입사파를 놓고, 접속점 도달 시각마다 반사파와 투과파를 기입한다.
• 대상 지점 위치의 격자 선을 따라 시각별 전위를 누적 합산한다.
• 시간에 따른 전위 변화를 그래프로 정리하고 최대 전위를 구한다.

5. 관련 법령·기준·표준

Bewley 격자도 자체는 법령 조항이 정한 계산법이 아니라 과도 현상 해석법이다. 다만 격자도로 구한 전위는 피뢰기 보호 여유와 절연협조 판정에 쓰이므로, 뇌임펄스와 개폐 서지의 기준 파형을 함께 알아야 한다. 국내 설계는 한국전기설비규정(KEC)의 절연협조 규정을 따르고, 시험 파형은 국제 표준을 따른다.

표 아래 설명: 뇌임펄스 파형은 낙뢰 과전압 시험에, 개폐 임펄스 파형은 차단기 투입·개방으로 생긴 과전압 시험에 쓴다. 격자도로 얻은 전위 파형이 이 기준 파형과 가까울수록 시험 결과와 비교가 쉽다.

가공선과 케이블이 접속된 경우 접속점 전위는 두 선로 임피던스 차이에 따라 크게 달라진다. 가공선에서 케이블로 들어갈 때 Z_2<Z_1 이므로 반사계수가 음이 되어 전압이 낮아지는 경향을 보인다. 설계에서는 이 값을 이용해 피뢰기 설치 위치와 보호 여유를 판단한다.

6. 유형과 비교

격자도는 선로의 전파 방식과 결합점의 조건에 따라 몇 가지 경우로 나뉜다. 비교의 기준은 진행파 반사계수(Reflection Coefficient)와 투과계수(Transmission Coefficient)이다. 두 계수는 임피던스가 바뀌는 점에서 파가 얼마나 되돌아오고 얼마나 넘어가는지를 정한다.