실효값·평균값

왜 배우는가: 실효값과 평균값은 교류 전압·전류의 크기를 직류와 같은 열효과 기준으로 표현하는 기본 개념이다. 전기설비의 정격, 계측기 지시값, 전력 계산이 모두 실효값을 기준으로 하므로 실무에서 계속 쓰인다. 기술사 시험에서도 파형과 최대치·실효치 관계를 묻는 문항으로 반복 출제된다.

출제 이력: 제115회 1교시 3번, 제110회 1교시 1번, 제96회 1교시 11번

1. 한 줄 정의와 핵심 키워드

정현파 교류의 실효값(RMS)은 저항에서 같은 시간 동안 같은 열을 내는 직류 값이고, 정현파의 실효값은 최대값의 1/√2배 (약 0.707배)이다.

• 실효값(RMS, Root Mean Square)
• 평균값(Average Value)
• 최대값(Peak Value)
• 파고율(Crest Factor)
• 파형율(Form Factor)
• 열효과 등가
• 정현파(Sinusoidal Wave)

2. 개념 풀이

쉬운 말로 하면, 교류는 크기가 계속 변하므로 "얼마나 센 교류인가"를 한 숫자로 말하기 어렵다. 그래서 같은 저항에 같은 시간 동안 같은 열을 내는 직류 값을 교류의 대표값으로 정한다. 이 값이 실효값(RMS)이다.

정식 정의는 순시값 제곱의 한 주기 평균에 제곱근을 취한 값이다. 즉 실효값은 제곱 평균의 제곱근이며, 이름 그대로 Root-Mean-Square의 순서로 계산한다. 열효과가 전류의 제곱에 비례하기 때문에 제곱을 먼저 하고 평균을 낸 뒤 근호를 씌우는 것이다.

$I_{rms}=\sqrt{\frac{1}{T}\int_0^T i^2(t)\,dt}$

여기서 T는 주기(s), i(t)는 순시 전류(A), I_{rms}는 실효 전류(A)이다. 정현파 i=I_m\sin\omega t를 대입하면 I_{rms}=I_m/\sqrt{2}가 된다.

평균값(Average Value)은 한 주기 동안 순시값을 그대로 평균한 값이다. 정현파의 양(+)과 음(-) 반주기가 상쇄되므로 한 주기 평균은 0이 된다. 그래서 정현파에서는 보통 반주기 평균을 쓴다.

$I_{av}=\frac{1}{\pi}\int_0^{\pi} I_m\sin\theta\,d\theta=\frac{2I_m}{\pi}\approx 0.637I_m$

여기서 I_{av}는 반주기 평균 전류(A), I_m은 최대 전류(A)이다. 정현파의 평균값은 최대값의 약 0.637배다.

정현파 실효값은 최대값의 1/√2(0.707)배, 평균값(반주기)은 최대값의 2/π(0.637)배이다.

3. 등장 배경과 필요성

직류는 값이 일정하여 전력을 P=V^2/R, P=I^2R로 바로 계산할 수 있다. 교류는 시간에 따라 값이 바뀌므로 같은 식을 쓰려면 대표값이 필요했다. 발전과 송전은 정현파 교류로 이루어지므로 발전기 정격, 변압기 용량, 전선 허용전류는 모두 실효값으로 표시된다.

평균값은 정류 회로처럼 한 방향으로 흐르는 전류의 크기를 나타낼 때 쓰인다. 예를 들어 반파 정류 회로의 직류 출력 전압은 평균값으로 평가한다. 두 개념을 구분하지 않으면 교류 전압계의 지시값과 정류기 출력 전압이 다르게 보이는 혼동이 생긴다.

파형에 따라 최대값, 실효값, 평균값의 비가 달라지기 때문에 파형율과 파고율이 도입되었다. 파형율은 실효값과 평균값의 비이며, 정현파에서는 약 1.11이다. 파고율은 최대값과 실효값의 비이며, 정현파에서는 약 1.414이다. 이 두 지표로 왜곡 파형이 설비에 주는 영향을 간단히 비교할 수 있다.

4. 구성요소·원리·절차

실효값·평균값은 정현파 하나를 놓고 보면 세 가지 값(최대값, 실효값, 평균값)의 관계다. 세 값은 같은 파형에서 서로 다른 방식으로 크기를 재는 기준이다. 실효값은 실효값(RMS, Root-Mean-Square) 으로 같은 저항에서 같은 열효과를 내는 직류 값이다. 평균값은 평균값(Average value) 으로 반주기 동안 절댓값의 산술평균이다.

표 아래 설명: 최대값은 파형 순시값의 최댓값이므로 측정이 가장 쉽다. 실효값은 전력과 열효과를 계산하는 데 쓰이는 값이다. 평균값은 정류 회로처럼 직류 성분을 다룰 때 쓰이는 값이다.

실효값의 원리는 다음과 같다. 순시값 v(t) 의 제곱을 한 주기 T 동안 적분하여 평균하고, 그 평균의 제곱근을 취한다.

$V_{rms}=\sqrt{\frac{1}{T}\int_0^T v(t)^2\,dt}$

여기서 T 는 주기(s), v(t) 는 순시 전압(V)이다. 정현파 v(t)=V_m\sin\omega t 를 대입하면 \sin^2 의 평균이 1/2 이므로 V_{rms}=V_m/\sqrt{2} 가 된다.

평균값은 반주기 절댓값의 평균으로 정의한다.

$V_{av}=\frac{1}{T/2}\int_0^{T/2}|v(t)|\,dt=\frac{2V_m}{\pi}$

여기서 V_{av} 는 평균 전압(V)이다. 정현파의 평균값은 \sin 의 반주기 평균 2/\pi 에서 나온다.

정현파의 파형률과 파고율도 이 세 값으로 정해진다. 파형률은 실효값을 평균값으로 나눈 값이고 파고율은 최대값을 실효값으로 나눈 값이다. 정현파의 파형률은 약 1.11, 파고율은 약 1.414(√2)이다.

계산 절차는 다음과 같다.

• 파형의 주기 T 와 최대값 Vm 을 확인한다.
• 정현파인지 확인하고 실효값 공식 Vm/√2 를 적용한다.
• 평균값이 필요하면 반주기 절댓값 평균 2Vm/π 를 적용한다.
• 파형률 = 실효값 ÷ 평균값, 파고율 = 최대값 ÷ 실효값으로 검산한다.

도식 1개(정현파 세 값의 관계):

정현파의 실효값은 최대값의 1/√2 배, 평균값은 최대값의 2/π 배이다.

5. 관련 법령·기준·표준

실효값·평균값은 법령으로 정해진 개념이 아니라 교류 이론의 정의이다. 전기설비 기준에서는 교류 전압·전류를 실효값으로 표시하는 것이 원칙이다. 한국전기설비규정(KEC)도 정격 전압·전류를 실효값으로 규정한다. 아래 표는 개념과 기준값을 정리한 것이다.

표 아래 설명: 정현파가 아닌 파형에서는 실효값을 수식으로 직접 구해야 한다. 구형파는 실효값과 평균값이 같다. 정격 표시·계측기 지시도 실효값 기준으로 이루어지므로 실효값 개념을 먼저 익혀야 한다.

실효값과 평균값의 차이는 정류 회로 설계와 계기 표시에서 구분된다. 이 구분은 KEC 정격 표시와 함께 읽어야 한다.

교류 정격 전압·전류는 실효값으로 표시한다.

6. 유형과 비교

실효값·평균값은 정현파 교류를 표현하는 대표 값이며, 같은 파형이라도 어떤 정의로 측정하느냐에 따라 값이 달라진다. 따라서 세 가지 대표값인 최대값, 실효값, 평균값을 정의·계산식·용도 측면에서 나란히 비교해 두어야 답안에서 혼동을 피할 수 있다. 아래 표는 정현파 1주기를 기준으로 한 비교다.