중첩·테브난·밀만·노튼 정리

왜 배우는가: 중첩·테브난·노튼·밀만 정리는 복잡한 선형회로를 단순한 등가회로로 바꿔 해석하는 기본 도구다. 발송배전 계통의 단락전류 계산, 보호계전 정정, 전원 병렬운전 해석에서 같은 사고방식이 반복되므로 시험에서 계산 문제와 개념 문제로 자주 출제된다.

출제 이력: 제137회 3교시 4번, 제116회 1교시 1번, 제113회 1교시 12번

1. 한 줄 정의와 핵심 키워드

선형회로에서 여러 전원이 있을 때 한 지로의 전류·전압을 전원별 기여분의 합으로 구하거나, 등가 전원(전압원 또는 전류원)과 등가 임피던스로 치환해 해석하는 회로이론 정리의 집합이다.

중첩의 정리는 독립전원을 하나씩 남기고 나머지는 제거해 응답을 합산하는 방법이다

핵심 키워드

• 선형회로: 중첩이 성립하는 조건으로 전압과 전류의 관계가 비례·가산성을 만족하는 회로다.
• 독립전원 제거: 전압원은 단락, 전류원은 개방으로 바꾼다.
• 테브난 등가회로: 개방단자 전압 Vth와 직렬 저항 Rth로 구성된다.
• 노튼 등가회로: 단락전류 IN과 병렬 저항 RN으로 구성된다.
• 밀만의 정리: 여러 병렬 전원의 단자 전압을 어드미턴스 가중 평균으로 구하는 식이다.
• 어드미턴스: 임피던스의 역수로 단위는 S(지멘스)다.
• 등가 변환: 테브난과 노튼 사이의 Thevenin-Norton 변환이다.

2. 개념 풀이

쉬운 말로 하면, 회로가 복잡해 한 번에 풀기 어려울 때 전원을 하나씩 떼어 보거나 복잡한 부분을 간단한 한 개의 전원과 한 개의 저항으로 바꿔 보는 방법이다. 이 방법들은 모두 키르히호프 법칙을 연립해 푸는 것과 결과가 같다.

정식 정의로 보면, 선형회로망에서 한 지로의 전류는 각 독립전원이 단독으로 작용할 때 생기는 전류의 대수적 합이다. 이것이 중첩의 정리(Superposition Theorem)다. 전원 수가 n개면 n개의 부분회로를 풀어 합한다. 종속전원은 중첩 횟수에 세지 않으며 제거하지 않고 그대로 둔다. 전력은 전류의 제곱에 비례하므로 중첩의 정리를 전력에 바로 적용하면 틀린다.

테브난의 정리(Thevenin's Theorem)는 임의의 선형 능동회로를 개방단자 전압 Vth를 가진 전압원과 등가저항 Rth의 직렬회로로 바꾼다고 한다. Vth는 부하를 떼어낸 상태의 개방단자 전압이고, Rth는 모든 독립전원을 제거(전압원 단락, 전류원 개방)했을 때 단자에서 본 저항이다. 교류 회로에서는 저항 대신 임피던스 Zth를 쓴다.

노튼의 정리(Norton's Theorem)는 같은 회로를 단락전류 IN을 가진 전류원과 등가저항 RN의 병렬회로로 바꾼다. 테브난과 노튼은 RN = Rth이고 IN = Vth / Rth의 관계로 서로 변환된다.

밀만의 정리(Millman's Theorem)는 여러 전압원이 각각 직렬 저항을 통해 한 점에 병렬로 연결된 경우, 그 점의 전압을 다음과 같이 구한다고 한다.

$V = \frac{\sum_{k} V_k G_k}{\sum_{k} G_k}$

여기서 V_k는 k번째 전원의 전압(V), G_k는 그 전원의 직렬 컨덕턴스(S)다. 전압원을 전류원으로 바꾸면 V = \sum I_k / \sum G_k가 되는데, 이는 병렬 전류원의 전류 합을 병렬 어드미턴스 합으로 나눈 값이다.

3. 등장 배경과 필요성

키르히호프 법칙만으로 회로를 풀면 미지수가 지로 수만큼 늘어나 계산이 복잡해진다. 실제 계통이나 전자회로는 전원이 여러 개이고 부하가 자주 바뀌므로, 특정 한 부하의 전류만 알면 되는 경우가 많다. 이때 부하 쪽을 등가 한 개 전원으로 바꾸면 부하 변화에 따른 재계산이 간단해진다.

이 정리들은 19세기 후반부터 전신·전력 회로 해석에서 정리되었다. 테브난의 정리는 헬름홀츠가 1853년에 먼저 제시했고, 1883년 프랑스 통신공학자 테브난이 재발견해 이름이 붙었다(위키백과 기준). 노튼의 정리는 벨 연구소 엔지니어 노튼이 발표한 것으로 알려져 있다. 밀만의 정리는 병렬 전원 해석을 위해 쓰이는 간편식이다.

발송배전 분야에서는 발전기 여러 대가 병렬로 모선에 접속된 상태의 모선 전압 계산, 단락 시 고장점 등가 임피던스 산정 등에 같은 원리가 쓰인다. 기술사 시험에서는 이 정리가 계통 해석의 기초라는 점을 설명하는 것이 중요하다.

4. 구성요소·원리·절차

중첩·테브난·밀만·노튼 정리는 모두 선형 회로망을 선형성(linearity) 과 등가 변환으로 단순화하는 방법이다. 네 정리는 같은 회로를 서로 다른 방식으로 풀지만, 구성요소와 해석 절차가 다르므로 표로 나누어 정리한다.

표는 네 정리의 구성요소를 비교한 것이다. 중첩은 전원 수만큼 회로를 나누어 풀고, 테브난과 노튼은 부하 단자를 기준으로 회로 전체를 한 소자로 바꾼다. 밀만은 병렬 구조에 특화된 공식이다.

중첩의 원리는 선형 회로에서 응답이 각 전원의 응답의 합이라는 성질에서 나온다. 전압원은 단락, 전류원은 개방으로 바꾸어 한 번에 하나의 전원만 남긴다. 이때 종속전원은 제거하지 않고 그대로 둔다. 전력은 중첩되지 않으므로 전력 계산에는 쓸 수 없다.

• 독립전원 하나만 남기고 나머지는 제거한다(전압원 단락, 전류원 개방).
• 남긴 전원에 대해 목적 전류 I_k를 구한다.
• 전원 수만큼 2~3을 반복한다.
• 얻은 I_k를 대수적으로 합한다(I=\sum I_k).

테브난의 원리는 부하 단자에서 본 회로를 전압원 하나와 저항 하나로 바꾸는 것이다. 개방 단자전압이 V_{th}, 전원을 모두 죽인 뒤 단자에서 본 저항이 R_{th}다. 부하 전류는 I=\dfrac{V_{th}}{R_{th}+R_L}로 구한다.

• 부하 R_L을 떼어 개방 단자전압 V_{th}를 구한다.
• 독립전원을 제거(전압원 단락, 전류원 개방)하고 단자에서 본 저항 R_{th}를 구한다. 종속전원이 있으면 시험전원법을 쓴다.
• 등가회로에 R_L을 연결하여 I=\dfrac{V_{th}}{R_{th}+R_L}을 계산한다.

밀만의 원리는 여러 전압원과 저항이 한 쌍의 노드에 병렬로 연결되었을 때 노드 전압을 한 식으로 구하는 것이다.

$V_{AB}=\dfrac{\sum_{k} E_k G_k}{\sum_{k} G_k}=\dfrac{\sum_{k} I_k}{\sum_{k} G_k}$

여기서 E_k는 k번째 전압원의 기전력(V), G_k=1/R_k는 k번째 가지의 컨덕턴스(S), I_k는 k번째 전류원의 전류(A)다. 전압원 가지는 E_kG_k, 전류원 가지는 I_k로 놓는다. 분자는 단락전류의 총합, 분모는 내부 어드미턴스의 총합이다.

노튼의 원리는 테브난의 쌍대이다. 부하 단자를 단락했을 때 흐르는 전류가 I_N, 전원을 모두 죽인 뒤 단자에서 본 저항이 R_N이다. 테브난과 노튼 사이에는 I_N=\dfrac{V_{th}}{R_{th}}, R_N=R_{th}의 관계가 있다. 부하 전류는 전류 분배식 I=I_N\dfrac{R_N}{R_N+R_L}로 구한다.

• 부하 단자를 단락하고 단락전류 I_N을 구한다.
• 독립전원을 제거하고 단자에서 본 저항 R_N을 구한다.
• 전류원 I_N과 R_N을 병렬로 놓고 R_L에 전류 분배식을 적용한다.

테브난과 노튼은 같은 등가이고 V_{th}=I_NR_{th}, R_{th}=R_N의 관계로 서로 변환된다

위 흐름도는 테브난과 노튼 공통 절차다. 개방전압과 단락전류 중 어느 것을 먼저 구해도 등가저항은 같은 방법으로 얻는다.

5. 관련 법령·기준·표준

전기회로 이론의 네 정리는 법령이나 고시 기준이 아니라 회로이론의 수학적 정리다. 따라서 적용 기준은 선형성, 쌍방향성(bilateral), 독립전원과 종속전원의 취급 규칙이다. 다음 표는 정리별 적용 조건과 해석 기준값이다.

표는 네 정리의 적용 조건과 전원 처리 기준을 정리한 것이다. 중첩은 전력 계산에 쓸 수 없다는 점이 가장 자주 틀리는 부분이다. 테브난과 노튼은 등가저항 계산 방법이 같다.

개정 연혁과 관련 KEC·NFTC 기준은 이 정리 자체에 해당하지 않는다. 다만 발송배전 실무에서는 등가 단락전류와 개방전압 계산이 계통 해석의 기초가 되므로, 임피던스 등가화와 연결하여 이해한다.

독립전원 제거 기준은 전압원 단락, 전류원 개방으로 고정된다. 종속전원은 제거하지 않는다.

6. 유형과 비교

선형회로 해석 정리는 목적과 적용 조건이 다르다. 중첩의 정리는 독립전원이 여럿일 때 각 전원의 기여를 합하는 방법이고, 테브난·노튼 정리는 한 지로(부하)를 기준으로 나머지 회로를 한 개의 등가회로로 줄이는 방법이다. 밀만의 정리는 병렬 노드 전압을 바로 구하는 방법이다.