열전달 단위수(NTU)

왜 배우는가: 열교환기 성능을 온도 정보가 불충분한 상태에서도 평가하려면 유용도(효율)와 NTU 관계를 알아야 한다. 입·출구 온도를 모를 때 LMTD 대신 쓰는 방법이며, 냉동공조 열교환기 설계와 용량 산정 문제에서 반복해 출제된다.

출제 이력: 제102회 2교시 3번, 제99회 2교시 2번

1. 한 줄 정의와 핵심 키워드

열전달 단위수(NTU)는 열교환기의 전열 능력을 열전달 면적과 최소 열용량률의 비로 나타낸 무차원수로, 열교환기 크기를 나타내는 척도이다.

• 열전달 단위수(NTU, Number of Transfer Units)
• 유용도(effectiveness, ε)
• 열용량률(heat capacity rate, C)
• 최소 열용량률(C_min)
• 열용량비(C_r)
• 총괄열전달계수(U)
• 유용도-NTU 방법(ε-NTU method)
• 대수평균온도차(LMTD)

2. 개념 풀이

쉬운 말로 하면, NTU는 "열교환기가 열을 얼마나 많이 옮길 수 있는 덩치인가"를 나타낸다. 값이 클수록 같은 열을 옮기는 데 필요한 면적이 커진다는 뜻이다.

정식 정의는 다음과 같다. 열교환기의 열전달 단위수는 총괄열전달계수와 열전달 면적의 곱을 최소 열용량률로 나눈 값이다. 즉 U와 A가 클수록, C_min이 작을수록 NTU는 커진다.

$NTU = \frac{UA}{C_{min}}$

• U: 총괄열전달계수(W/m²·℃)
• A: 열전달 면적(m²)
• C_min: 두 유체 중 작은 열용량률(W/℃). 열용량률 C = ṁ·c_p(kg/s × J/kg·℃)이다.

유용도(effectiveness) 는 실제 열전달량을 가능한 최대 열전달량으로 나눈 값이다. 0과 1 사이의 무차원 수다.

$\varepsilon = \frac{q}{q_{max}}, \quad q_{max} = C_{min}(T_{h,in} - T_{c,in})$

• q: 실제 열전달률(W)
• q_max: 열교환기가 낼 수 있는 최대 열전달률(W)
• T_h,in, T_c,in: 고온·저온 유체의 입구온도(℃)

최대 열전달은 열용량률이 작은 유체가 열교환기 전체에서 가장 큰 온도차를 겪을 때 이루어진다. 그래서 기준이 되는 것이 C_min이다.

유용도-NTU 방법은 입·출구 온도 중 일부를 모를 때 쓴다. LMTD 방법은 네 온도를 알아야 하지만, ε-NTU 방법은 유용도와 NTU의 함수 관계로 열교환기 성능을 구한다. 두 방법은 같은 열교환기에 대해 같은 해를 준다.

3. 등장 배경과 필요성

열교환기 설계 초기에는 출구온도를 알 수 없는 경우가 많다. 설계 조건으로 주어지는 것은 보통 입구온도, 유량, 원하는 열량이다. 이런 경우 LMTD 방法은 출구온도를 시행착오로 찾아야 하므로 계산이 번거롭다.

ε-NTU 방법은 이 문제를 해결하기 위해 도입됐다. 열용량률 비와 NTU로 유용도를 바로 구할 수 있어, 출구온도를 모르는 상태에서도 직접 계산이 가능하다.

또한 NTU는 열교환기의 크기를 나타내는 척도로 쓰인다. 필요한 NTU가 정해지면 U·A 관계로 필요한 전열면적을 역산할 수 있다. 냉동공조 분야에서는 브라인 냉각기, 응축기, 증발기 설계에 이 방법이 쓰인다.

다만 유용도 관계식은 흐름 형식(병류, 향류, 직교류 등)과 통로 수에 따라 달라진다. 그래서 같은 NTU라도 흐름 형식에 따라 유용도가 다르다.

4. 구성요소·원리·절차

NTU법은 열교환기의 크기와 유체 조건을 무차원수로 묶어 계산하는 방법이다. 먼저 계산에 쓰는 구성요소를 정리한다.

원리는 다음과 같다. 열교환기의 실제 열전달량 Q는 두 유체의 열용량과 입구 온도차로 정해진다. 이론상 가장 많이 옮길 수 있는 열량은 Cmin 유체가 입구 온도차 전체를 겪을 때다. 이 최대값에 대한 비율을 유용도(Effectiveness, ε)라 한다. 유용도 ε는 실제 열전달량을 최대 가능 열전달량으로 나눈 무차원수다.

전열단위수 NTU는 전열면적이 열전달 능력에 얼마나 기여하는지를 나타낸다. NTU가 커질수록 필요한 전열면적도 커진다. 유용도는 NTU가 커지면 1에 가까워지지만 어느 값 이상에서는 증가가 완만해진다. 그래서 설계자는 목표 유용도를 정하고 NTU를 구한 뒤 UA를 역산한다. 기호의 뜻은 다음과 같다. Th,in은 고온 유체 입구온도, Tc,in은 저온 유체 입구온도(℃)이고, ΔTmax = Th,in − Tc,in은 최대 온도차다.

$NTU = \frac{UA}{C_{min}}$

$\varepsilon = \frac{Q}{Q_{max}} = \frac{Q}{C_{min}(T_{h,in}-T_{c,in})}$

$Q = \varepsilon\, C_{min}(T_{h,in}-T_{c,in})$

유형에 따라 유용도와 NTU의 관계식이 다르다. 역향류(counterflow) 열교환기는 다음 식을 쓴다. 유체가 반대 방향으로 흐르므로 같은 면적에서 온도차를 가장 크게 유지한다.

$\varepsilon = \frac{1-\exp[-NTU(1-C_r)]}{1-C_r\exp[-NTU(1-C_r)]}$

역향류에서 Cr = 1이면 식이 단순해져 ε = NTU/(1+NTU)가 된다. 병류(parallel flow) 열교환기는 다음 식을 쓴다. 유체가 같은 방향으로 흐르므로 출구 온도가 서로 가까워져 같은 NTU에서 유용도가 낮다.

$\varepsilon = \frac{1-\exp[-NTU(1+C_r)]}{1+C_r}$

설계 절차는 다음과 같다.

• 두 유체의 질량유량과 비열로 열용량률 C = 질량유량 × 비열을 계산한다.
• C 값을 비교해 Cmin과 Cmax를 정하고 Cr = Cmin/Cmax를 구한다.
• 설계 목표 열량 Q 또는 출구온도로 필요한 유용도 ε = Q/Qmax를 정한다.
• 유형에 맞는 ε-NTU 식이나 선도에서 NTU를 구한다.
• NTU에서 UA = NTU × Cmin을 구하고, 총괄열전달계수 U로 나누어 전열면적 A = UA/U를 계산한다.
• 오염계수로 줄어든 U를 반영해 면적을 다시 검토한다.

이 절차에서 열용량률의 계산이 틀리면 Cmin이 바뀌어 NTU와 면적 전체가 틀어진다. 입구온도와 유량 단위를 먼저 맞추는 것이 중요하다.

5. 관련 법령·기준·표준

NTU법 자체는 법령 조문으로 정한 방법이 아니다. 공조냉동 분야의 열교환기 설계 편람과 전열 교재에서 공통으로 쓰는 계산법이다. 따라서 법정 기준값보다 계산식의 적용 조건과 값의 범위를 알아두는 것이 중요하다. 아래 표는 계산에 쓰는 기준 수치를 정리한 것이다.

표의 식은 모두 같은 ε-NTU 관계에서 나온다. 상변화 유체는 온도가 거의 변하지 않으므로 열용량률비가 0에 가까워진다. 그 경우 유용도는 NTU만으로 정해진다. 역향류의 Cr=1 관계는 수식 계산에서 0으로 나누기 오류를 피하는 데 쓴다.

개정 연혁으로 볼 만한 사항은 없다. 전열 계산식은 열역학·전열 교재의 공통 식으로 유지되어 왔다. 실무에서는 설계 조건과 안전율을 기준 문헌에 따라 추가로 적용한다.