부정정 트러스 해석

왜 배우는가: 부정정 트러스는 평형방정식만으로 부재력을 구할 수 없어 적합조건과 부재 강성을 함께 써야 하므로, 구조역학 해석 능력을 가장 잘 보여주는 문제 유형이다. 실무에서 교량·지붕 트러스의 부재력과 변위를 검토할 때 기본이 되며, 3교시 축력 계산과 4교시 단면력 계산에 모두 반복해서 출제된다.

출제 이력: 제111회 3교시 2번, 제91회 4교시 1번

1. 한 줄 정의와 핵심 키워드

부정정 트러스 해석은 평형방정식과 부재의 변형 적합조건을 함께 세워 미지 부재력을 구하는 해석이다.

• 부정정 트러스
• 평형방정식
• 적합조건
• 부재력(축력)
• 응력법(하중법)
• 변위법(강성법)
• 부재 강성 EA/L
• 외적·내적 부정정

2. 개념 풀이

쉽게 말하면 트러스의 부재를 줄로 보고, 줄마다 얼마나 늘어나고 줄어드는지를 따져서 힘을 나눠 갖는 방법이다. 절점에서 힘의 합이 0이어야 한다는 조건만으로는 힘이 정해지지 않을 때, 변형이 서로 맞아야 한다는 조건을 추가한다.

정식으로는 평면 트러스에서 부재 수를 m, 반력 수를 r, 절점 수를 j라 할 때 부정정 차수는 N = m + r - 2j로 구한다. 이 값이 0이면 정정, 0보다 크면 부정정, 0보다 작으면 불안정이다. 평형방정식 수는 절점마다 2개(2j)이므로, 미지수(m+r)가 방정식 수(2j)보다 많은 만큼 부정정이 된다.

핵심 용어는 다음과 같다.

• 평형방정식: 각 절점에서 ΣFx = 0, ΣFy = 0 을 만족하는 식이다. 절점법과 단면법이 모두 이 식을 쓴다.
• 적합조건: 부재와 절점의 변형이 기하학적으로 양립해야 한다는 조건이다. 부정정 차수만큼 추가로 필요하다.
• 응력법(하중법, Force Method): 여분의 부정정력을 미지수로 두고, 기본구조의 변위와 부정정력에 의한 변위의 합이 지점 조건과 같다는 식을 세운다.
• 변위법(강성법, Displacement Method): 절점 변위를 미지수로 두고, 부재 힘-변형 관계와 절점 평형식으로 푼다.
• 부재 강성: 축방향 부재의 강성은 EA/L로 표시한다. E는 탄성계수, A는 단면적, L은 부재 길이다.

응력법은 부정정 차수가 작은 구조에서 편리하고, 변위법은 부정정 차수가 많거나 컴퓨터 해석에 적합하다. 시험에서 손계산 문제는 대부분 응력법(부정정력 선택 후 적합조건 식)으로 푼다.

3. 등장 배경과 필요성

트러스는 부재를 가늘고 길게 쓰면서도 큰 지간을 덮을 수 있어 교량, 지붕, 송전탑에 널리 쓰인다. 그러나 현실의 구조물은 지점이 여분으로 있거나 부재를 더 넣어 안정성을 높이는 경우가 많아, 정정 트러스 해석만으로는 설계에 필요한 부재력을 얻을 수 없다.

부정정 트러스 해석이 필요해진 이유는 세 가지다. 첫째, 부재를 추가하면 강성이 커져 하중을 여러 경로로 분담하므로 안전성이 높아진다. 둘째, 지점 침하, 온도 변화, 제작 오차가 생기면 정정 구조에서는 응력이 생기지 않지만 부정정 구조에서는 부재력이 생긴다. 셋째, 같은 하중에서도 부재 강성 비에 따라 부재력 분포가 달라지므로 강성을 반영한 해석이 필요하다.

따라서 부정정 트러스 해석은 평형만으로 부족한 식을 변형 관계로 보충하는 과정이며, 이것이 구조기술사 시험에서 평형·적합·강성을 함께 묻는 이유다.

4. 구성요소·원리·절차

부정정 트러스는 부재 수와 반력 수가 평형방정식 수보다 많아 평형조건만으로 부재력을 구할 수 없다. 따라서 적합조건(변형 일치 조건)과 부재력-변형 관계를 평형방정식에 더해 미지수를 모두 결정한다. 해석의 구성요소는 다음과 같다.

부정정 차수 N = m + r − 2j만큼 적합조건식이 필요하다

원리는 응력법(힘법)과 변위법으로 나뉜다. 응력법은 부정정력을 미지수로 두고, 변위법은 절점 변위를 미지수로 둔다. 시험 문항처럼 부정정 차수가 낮은 트러스는 응력법이 편리하다. 응력법의 기본 식은 다음과 같다.

$\delta_{11} X_1 + \delta_{10} = 0$

여기서 \delta_{10}은 하중만 작용한 기본구조의 변위, \delta_{11}은 단위 부정정력 X_1=1이 작용한 기본구조의 변위, X_1은 부정정력이다. 트러스 부재의 변위는 가상일의 원리로 구한다.

$\delta_{ij} = \sum \frac{n_i n_j L}{E A}$

n은 단위하중에 의한 부재력, L은 부재 길이, E는 탄성계수, A는 단면적이다. 단위는 kN, mm, kN/mm²를 쓰므로 EA는 kN 단위가 된다.

절차는 다음과 같다.

• 부재 수 m, 반력 수 r, 절점 수 j로 부정정 차수 N = m + r − 2j를 구한다.
• 부정정력 X_1을 선택하고 부재 하나를 제거하거나 지점을 풀어 기본구조를 만든다.
• 하중만 작용한 기본구조에서 부재력 F_0을 구한다.
• 단위 부정정력 작용 시 부재력 n을 구한다.
• \delta_{11}과 \delta_{10}을 가상일 식으로 계산한다.
• 적합조건식으로 X_1을 구한다.
• 중첩 F = F_0 + n X_1으로 모든 부재력을 구한다.

N = m + r − 2j

내적 부정정과 외적 부정정을 구분한다. 외적 부정정은 지점 반력이 많아 생기고, 내적 부정정은 부재가 많아 생긴다. 내적 부정정에서는 부재 하나의 부재력을 부정정력으로 선택하고, 그 부재를 제거한 기본구조를 쓴다. 기본구조에서 제거한 부재는 최종 표 계산에 빠뜨리지 않고 다시 넣는다.

부정정력 선택 후 기본구조의 변위와 적합조건으로 미지력을 구한다

대칭성을 이용하면 계산이 줄어든다. 대칭 하중과 대칭 구조에서는 대칭축 위 부재의 전단력이 0이 되는 경우가 많다.

도식 1개(흐름도):

5. 관련 법령·기준·표준

부정정 트러스 해석은 건축구조기준의 법령 조문이 아니라 구조역학 이론과 재료 물성에 따른다. 설계 적용 시에는 건축구조기준(KDS)의 강재 설계 규정을 함께 본다. 다만 해석 단계에서 쓰는 값은 재료 탄성계수와 단면 성능이다.

표의 값은 문항에 주어진 값이다. 설계 기준에서 쓰는 강재 허용 응력은 별도 설계 절차에 따르며 본 해석에서는 다루지 않는다.

개정 연혁: 건축구조기준은 KDS 체계로 정비되어 있다. 본 해석 절차 자체는 개정과 무관하다.

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6. 유형과 비교

부정정 트러스는 부재 수와 반력 수가 평형방정식 수보다 많아 부정정 차수가 생긴다. 해석 방법에 따라 응력법(유연도법)과 변위법(강성법)으로 나뉜다. 두 방법은 같은 구조물을 풀지만 미지수와 방정식의 구성이 다르다.