응답스펙트럼해석법

왜 배우는가: 응답스펙트럼해석법은 실무 내진설계에서 가장 널리 쓰이는 동적해석법이며, 시험에서는 정의·원리·근사성의 이유를 묻는 문제로 반복 출제된다. 개념의 출발점인 응답스펙트럼의 작성 원리를 먼저 정확히 잡아야 이후 설계응답스펙트럼과의 차이, 모드 조합의 한계, 기준 적용을 연결해 답할 수 있다.

출제 이력: 제139회 3교시 6번, 제123회 1교시 6번

1. 한 줄 정의와 핵심 키워드

응답스펙트럼해석법은 지진기록으로부터 구한 최대응답 스펙트럼을 이용해 구조물의 모드별 최대응답을 산정하고, 이를 조합하여 설계응답을 구하는 동적 해석법이다.

응답스펙트럼해석법은 단자유도계의 주기별 최대응답(응답스펙트럼)으로 다자유도 구조물의 모드별 최대응답을 구하고 이를 조합하는 방법이다.

핵심 키워드

• 응답스펙트럼(Response Spectrum)
• 단자유도계(Single Degree of Freedom, SDOF)
• 모드중첩(Modal Superposition)
• 모드 질량 참여율(Modal Mass Participation)
• SRSS(Square Root of Sum of Squares)
• CQC(Complete Quadratic Combination)
• 설계응답스펙트럼(Design Response Spectrum)
• 설계밑면전단력(Design Base Shear)

2. 개념 풀이

쉬운 말로 풀면, 지진이 왔을 때 "주기가 짧은 건물과 긴 건물 중 어느 쪽이 얼마나 크게 흔들리는가"를 주기별로 한 장의 그래프에 모아 놓은 것이 응답스펙트럼이다. 이 그래프를 읽어 각 진동모드의 최대응답을 구하는 방법이 응답스펙트럼해석법이다.

정식으로는, 지반가속도 \ddot{u}_g(t)를 입력으로 하여 감쇠비 \xi가 일정한 단자유도계를 고유주기 T별로 두고, 각 계의 최대응답을 주기축에 대해 도시한 것을 응답스펙트럼이라 한다. 단자유도계의 운동방정식은 다음과 같다.

$m\ddot{u}+c\dot{u}+ku=-m\ddot{u}_g(t)$

여기서 m은 질량(kg), c는 감쇠계수(N·s/m), k는 강성(N/m), u는 상대변위(m), \ddot{u}_g는 지반가속도(m/s²)이다.

모드중첩(Modal Superposition) 은 다자유도 구조물의 응답을 고유모드의 응답 합으로 나타내는 방법이다. 각 모드 n의 최대응답은 해당 고유주기 T_n에서 응답스펙트럼 값을 읽어 구한다. 이때 모드 질량 참여율(Modal Mass Participation) 이 큰 모드가 응답을 지배한다.

핵심 용어를 정리하면 다음과 같다.

• 의사가속도 S_a: S_a=\omega^2 S_d로 정의하며, \omega는 원진동수(rad/s), S_d는 최대상대변위(m)이다.
• 모드 조합: 모드별 최대응답을 SRSS 또는 CQC로 합하여 전체 응답 추정치를 얻는 과정이다.

3. 등장 배경과 필요성

초기 내진해석은 등가정적하중법에 의존하였다. 이 방법은 건물을 하나의 질량으로 보고 고유주기 한 개만 고려하므로, 고층·비정형 구조물에서 고차모드의 영향을 반영하기 어렵다. 그래서 여러 모드의 응답을 체계적으로 구하는 방법이 필요해졌다.

시간이력해석은 실제 지진기록을 입력하여 응답을 직접 계산하므로 정확하지만, 입력 지진기록을 여러 개 선정·보정하고 각 기록마다 해석을 반복해야 하므로 실무 부담이 크다. 응답스펙트럼은 여러 지진기록의 최대응답 특성을 하나의 곡선으로 요약하므로 이 부담을 줄인다.

그 결과 응답스펙트럼해석법은 다음 두 요구를 함께 만족시키는 방법으로 자리 잡았다.

• 주요 모드의 응답을 반영하여 고층·비정형 구조물을 평가할 것
• 입력자료와 절차를 표준화하여 설계 검토를 쉽게 할 것

국내에서는 「건축물 내진설계기준(KDS 41 17 00)」이 응답스펙트럼법을 중심 해석법으로 규정하고 있다. 따라서 이 방법은 기준에 따른 실무 설계의 기본 도구로 쓰인다.

4. 구성요소·원리·절차

응답스펙트럼해석법은 구조물을 다자유도계(MDOF)로 모델링하고, 고유치해석으로 얻은 고유모드별 최대응답을 응답스펙트럼에서 읽은 뒤 모드 조합으로 전체 응답을 구한다. 구성요소는 질량·강성·감쇠 모델, 고유주기와 모드형상, 모드 참여계수, 응답스펙트럼, 모드 조합 방법으로 나뉜다.

구성요소 중 모드 참여계수는 다음과 같이 쓴다.

$\Gamma_n = \frac{\phi_n^T M \mathbf{1}}{\phi_n^T M \phi_n}$

여기서 \phi_n은 n차 모드형상벡터, M은 질량행렬, \mathbf{1}은 지반운동 방향의 단위벡터다. 모드별 응답은 u_n = \Gamma_n \phi_n S_d(T_n)로 구하고, 이를 조합해 전체 응답을 얻는다.

원리

모드중첩의 원리로 다자유도계의 운동을 서로 직교하는 모드의 합으로 분해한다. 각 모드는 독립된 단자유도계처럼 거동하므로, 각 모드의 최대응답만 스펙트럼에서 읽으면 된다. 이때 부호와 시간 차이가 사라지므로 조합 단계에서 통계적 합산이 필요하다.

SRSS(제곱합제곱근) 는 고유주기가 충분히 떨어져 있을 때 쓰는 조합법이다.

$R = \sqrt{\sum_{n} R_n^2}$

CQC(완전 2차 조합) 는 고유주기가 가까운 모드 사이의 상관을 고려하는 조합법이다. 주기 간격이 좁은 경우 SRSS보다 합리적이다.

절차

• 구조물의 질량·강성 모델을 작성하고 고유치해석으로 고유주기와 모드형상을 구한다.
• 주요 모드 수를 정한다. 모드 참여질량 합이 해당 방향 질량의 대부분(기준 기준값 이상)에 이를 때까지 모드를 포함한다.
• 각 모드의 모드 참여계수와 유효질량을 계산한다.
• 설계응답스펙트럼에서 각 모드 고유주기의 가속도 응답 Sa(Tn)를 읽는다.
• 모드별 밑면전단력 Vn과 층별 지진력을 구한다.
• 모드별 응답을 SRSS 또는 CQC로 조합하여 전체 밑면전단력, 층간변위, 부재력을 구한다.
• 등가정적해석 결과와 비교하여 밑면전단력 하한을 검토하고, 부족하면 보정계수로 증폭한다.
• 3방향(X, Y, Z) 지진력을 각각 산정하고 필요 시 직교방향 조합(100%+30% 등)을 적용한다.

5. 관련 법령·기준·표준

건축물 응답스펙트럼해석의 기준은 건축물 내진설계기준(KDS 41 17 00)이 정한다. 설계지반운동과 표준설계응답스펙트럼은 내진설계 일반(KDS 17 10 00)을 따르고, 기초구조물의 동적해석은 기초 내진설계기준(KDS 11 50 25)을 따른다.

기초 내진 설계기준(KDS 11 50 25)은 기초구조물의 내진설계 방법으로 등가정적 해석방법, 응답변위 해석방법, 동적해석 방법을 제시한다. 동적 해석방법은 응답스펙트럼법과 응답이력해석법으로 분류되며, 기초와 지반의 상호작용을 고려해 사용할 수 있다. 동적해석에서는 현장시험과 실내시험으로 구한 지반 특성치를 적용한다.

내진설계 일반(KDS 17 10 00)은 실지진 기록과 인공합성 지반운동을 표준설계응답스펙트럼에 맞춰 수정하는 조건을 정한다. 다수의 입력 기록에서 계산한 5% 감쇠비 응답스펙트럼 평균은 주기 영역에서 표준설계응답스펙트럼의 90% 이상이어야 한다. 지진기록의 평균 최대지반가속도는 유효수평지반가속도(S)의 90% 이상이어야 한다.

소방시설의 내진설계 기준은 건축물 내진설계기준의 내진등급, 성능수준, 지진구역계수를 따르고 중요도계수 Ip를 1.5로 정한다. 허용응력설계법을 적용하는 경우 건축물 내진설계기준의 산정방법 중 허용응력설계법 외의 방법으로 산정된 설계지진력에 0.7을 곱한 값을 지진하중으로 적용한다.