항복이론

왜 배우는가: 항복이론은 여러 방향의 응력이 동시에 작용하는 부재에서 언제 재료가 항복하는지 판정하는 기준이다. 강재 설계에서 단축 인장 시험값만으로 복합응력 상태를 안전하게 평가하려면 반드시 필요하다. 시험에서도 Von Mises와 Tresca 기준의 비교를 묻는 문제로 반복 출제되므로 두 기준의 차이와 적용 조건을 정확히 알아야 한다.

출제 이력: 제134회 1교시 2번, 제130회 1교시 11번

1. 한 줄 정의와 핵심 키워드

항복이론은 복합응력 상태에서 재료가 소성 변형을 시작하는 조건을 단축 인장 항복강도와 관련지어 나타낸 기준이다. 답안 첫 줄에는 다음 정의를 쓴다.

항복이론은 3축 응력 상태에서 단축 인장 항복강도로 항복 시작 여부를 판정하는 기준이다.

핵심 키워드

• 항복조건(yield criterion)
• Von Mises 항복조건(Von Mises yield criterion)
• Tresca 항복조건(Tresca yield criterion)
• 최대 전단응력 이론(maximum shear stress theory)
• 최대 왜곡에너지 이론(maximum distortion energy theory)
• 주응력(principal stress)
• 편차응력(deviatoric stress)
• 항복곡면(yield surface)

2. 개념 풀이

쉬운 말로 풀면 재료가 여러 방향에서 동시에 당겨지거나 눌릴 때, 어느 순간부터 영구 변형이 생기는지를 따지는 규칙이다. 단축 인장시험에서는 응력이 항복강도에 이르면 항복한다. 그러나 실제 부재는 주응력이 두세 방향으로 작용하므로, 이 값을 그대로 비교할 수 없다. 그래서 복합응력을 하나의 등가응력이나 등가 전단응력으로 바꾸어 단축 항복값과 비교한다.

정식 정의는 다음과 같다. 항복조건은 응력 성분들의 함수로 표현된 식이 재료의 항복 상수와 같아질 때 항복이 시작된다는 조건이다. 이 조건을 응력 공간에 나타낸 곡면이 항복곡면이다. 항복곡면 안쪽은 탄성 거동, 곡면 위는 소성 거동이다.

Von Mises 항복조건은 편차응력의 제2불변량 J_2 가 기준값에 이르면 항복한다는 기준이다. 이론의 물리적 해석은 왜곡에너지다. 체적 변화를 일으키는 정수압 성분을 빼고, 형상을 바꾸는 왜곡 성분의 에너지가 단축 인장 항복점의 왜곡에너지와 같아지면 항복한다.

Tresca 항복조건은 최대 전단응력이 재료의 전단 항복값에 도달하면 항복한다는 기준이다. 금속의 항복이 결정 내부의 미끄럼(slip) 변형에 의해 일어난다는 관찰에 근거한다. 주응력 중 최대값과 최소값의 차이가 핵심 변수이다.

핵심 용어 두 가지를 구분한다. 최대 전단응력은 주응력 차의 절반이고, 편차응력은 평균 수직응력을 뺀 나머지 응력 성분이다. Von Mises는 편차응력으로, Tresca는 최대 전단응력으로 판정한다는 점이 출발점이다.

3. 등장 배경과 필요성

항복 현상은 19세기 후반 이후 금속 소재 시험에서 체계적으로 관찰되었다. 단축 인장 시험만으로는 두께 방향이나 여러 축에 응력이 작용하는 실제 부재를 판정할 수 없었다. 여러 방향 응력에서 재료가 언제 항복하는지 설명하는 이론이 필요해졌다.

Tresca 기준은 최대 전단응력 이론으로 먼저 제안되었다. 연강과 같은 연성 재료에서 파손이 전단면에서 일어난다는 관찰이 바탕이 되었다. 이후 Huber와 von Mises가 왜곡에너지 개념을 도입하면서 Von Mises 기준이 나왔다. Hencky는 이 기준을 왜곡에너지가 임계값에 이를 때 항복한다는 물리적 해석으로 설명했다. 1937년 Nadai는 같은 기준을 팔면체 전단응력으로 해석하였다.

두 기준이 함께 쓰이는 이유는 재료 거동을 단순화한 모델이기 때문이다. 강재 구조 설계에서는 부재 단면의 응력 조합을 등가응력으로 바꾸어 허용값과 비교하는 과정이 필요하다. 이때 항복조건의 선택이 판정 결과를 바꾸므로, 두 기준의 차이와 적용 범위를 이해해야 설계 판단이 가능하다.

한편 Von Mises 기준은 금속 재료의 항복 예측에 실험과 잘 맞는 것으로 알려져 있다. 반면 Tresca 기준은 항복 조건을 더 보수적으로 판정하는 경향이 있다. 이 차이가 시험 문항에서 비교 질문으로 나오는 이유다.

4. 구성요소·원리·절차

항복이론은 다축 응력 상태에서 재료가 언제 항복하는지를 단축 인장 시험 결과로 판정하는 기준이다. 구조 해석에서는 응력 성분을 하나의 등가 응력으로 묶고, 그 값이 재료의 항복강도에 도달하는지 본다. 가장 많이 쓰는 두 기준은 폰 미세스 항복조건(Von Mises yield criterion)과 트레스카 항복조건(Tresca yield criterion)이다.

폰 미세스 조건은 주응력 \sigma_1, \sigma_2, \sigma_3로 다음과 같이 쓴다.

$\sigma_v = \sqrt{\frac{1}{2}\left[(\sigma_1-\sigma_2)^2+(\sigma_2-\sigma_3)^2+(\sigma_3-\sigma_1)^2\right]} = \sigma_Y$

여기서 \sigma_v는 von Mises 응력(MPa), \sigma_Y는 단축 인장 항복강도(MPa)다. 평면응력(\sigma_3=0)에서는 \sigma_v=\sqrt{\sigma_x^2-\sigma_x\sigma_y+\sigma_y^2+3\tau_{xy}^2} 이다.

트레스카 조건은 최대 전단응력으로 쓴다.

$\tau_{max} = \frac{\sigma_1-\sigma_3}{2} = \frac{\sigma_Y}{2}$

여기서 \tau_{max}는 최대 전단응력(MPa), \sigma_1은 최대 주응력, \sigma_3은 최소 주응력이다. 즉 \sigma_1-\sigma_3=\sigma_Y일 때 항복한다.

판정 절차는 다음과 같다.

• 해석 결과에서 응력 성분 \sigma_x, \sigma_y, \tau_{xy}(또는 3축 성분)를 얻는다.
• 평면응력 변환 또는 모어원으로 주응력 \sigma_1, \sigma_2, \sigma_3를 구한다.
• 폰 미세스 응력 \sigma_v 또는 \sigma_1-\sigma_3를 계산한다.
• 설계 항복강도와 비교하여 \sigma_v<\sigma_Y이면 탄성, 같으면 항복 상태로 본다.

항복 곡면은 응력 공간에서 탄성 영역의 경계다. 곡면 안쪽은 탄성, 곡면 위는 소성 변형이 일어난다. 두 기준의 곡면은 편차 평면에서 원(폰 미세스)과 정육각형(트레스카)으로 보인다. 정육각형의 꼭짓점이 원 위에 놓이므로 트레스카 곡면은 폰 미세스 곡면 안쪽에 있다. 따라서 트레스카는 같은 응력에서 더 일찍 항복을 예측한다.

폰 미세스는 형상 변형 에너지, 트레스카는 최대 전단응력으로 항복을 판정한다.

최대 전단응력 = 항복강도의 1/2 는 트레스카의 핵심 관계이고, 폰 미세스에서 순수 전단 항복강도는 인장 항복강도의 1/\sqrt{3} 배다.

5. 관련 법령·기준·표준

항복이론은 법령 조문이 아니라 재료역학·강구조 설계의 공학 기준이다. 국내 강구조 설계기준(KDS 14 계열)은 허용응력·한계상태 설계에서 항복강도를 기준으로 쓰며, 다축 응력의 항복 판정에는 위 두 기준을 설명 근거로 쓴다. 기준값과 적용 조건을 표로 정리하면 다음과 같다.

개정 연혁으로는 트레스카 기준이 먼저 제안되었고(최대 전단응력설), 폰 미세스 기준은 이후 변형 에너지 개념으로 정립되었다. 폰 미세스는 Hencky 해석과 Nadai의 팔면체 전단응력 해석으로 연결된다. 설계 실무에서 어느 기준을 쓸지는 해당 설계기준과 발주처 지침에 따른다.

본 절의 기준값은 재료 항복강도 \sigma_Y 하나로 표현되므로, 설계 적용 시에는 재료의 설계 항복강도(부재 두께·강종에 따른 값)를 먼저 확정해야 한다.