속빈 단면 비틀림

왜 배우는가: 속 빈 강관이나 박스 단면은 간판 기둥, 수직 강관 기둥, 교량 박스 거더처럼 비틀림이 함께 작용하는 부재에 널리 쓰인다. 같은 재료와 단면적에서도 폐단면과 개단면의 비틀림 강성 차이가 커서, 두 단면을 비교하는 계산 문제로 자주 출제된다.

출제 이력: 제124회 1교시 1번, 제99회 1교시 6번

1. 한 줄 정의와 핵심 키워드

속 빈 단면의 비틀림은 얇은 벽을 따라 흐르는 전단흐름이 비틀림 모멘트에 저항하는 현상이다.

• 비틀림 상수(torsion constant)
• 폐단면(closed section)과 개단면(open section)
• 전단흐름(shear flow)
• Bredt 식
• 뒤틀림(warping)
• 비틀림 강성(torsional rigidity)

2. 개념 풀이

쉬운 말로 하면, 속이 빈 강관을 한쪽 끝에서 돌리면 벽 두께 안에서 전단응력이 둘레를 따라 돈다. 벽이 얇을수록 이 응력은 두께 방향으로 거의 일정하다고 볼 수 있다. 이 가정이 얇은 벽 비틀림 해석의 출발점이다.

정식으로는 폐단면에서 단위 길이당 전단흐름 q = τt 가 벽 중심선을 따라 일정하다. 비틀림 모멘트 T 는 q 와 벽 중심선이 둘러싸는 면적 A_m 의 곱의 2배와 같다. 이 관계를 정리한 것이 Bredt 식이다.

$\tau = \frac{T}{2A_m t}$

여기서 τ 는 전단응력(MPa), T 는 비틀림 모멘트(N·mm), A_m 은 벽 중심선이 둘러싸는 면적(mm²), t 는 벽 두께(mm)다. 비틀림 각은 길이 L 과 전단탄성계수 G 를 써서 다음과 같이 쓴다.

$\theta = \frac{TL}{GJ}, \quad J = \frac{4A_m^2}{\oint ds/t}$

여기서 J 는 비틀림 상수이고, ∮ds/t 는 벽 중심선을 한 바퀴 돌며 길이를 두께로 나눈 값의 합이다. 둘레가 같다면 폐단면의 J 가 개단면보다 훨씬 크다. 개단면은 얇은 직사각형 띠의 합으로 근사하며, 그 값은 J ≈ (1/3)Σbt³ 이다.

3. 등장 배경과 필요성

원형 축은 단면이 비틀려도 평면을 유지한다는 가정으로 해석된다. 이 경우 전단응력은 중심으로부터의 거리에 비례하고, 바깥면에서 최대가 된다. 그러나 원형이 아닌 단면은 비틀릴 때 단면이 면외로 뒤틀린다. 이 뒤틀림이 있으면 평면 유지 가정이 깨지고, 전단응력 분포는 중심 거리에 비례하지 않는다.

구조 설계에서는 강관이나 박스형 단면을 많이 쓴다. 이런 단면은 벽이 얇고 속이 비어 있어 단면적 대비 휨강성이 크다. 따라서 같은 재료량으로 큰 비틀림 강성을 얻으려면 폐단면이 유리하다. 반대로 H형강처럼 개단면은 비틀림 강성이 작아, 뒤틀림이 구속되지 않으면 비틀림에 취약하다.

그래서 실무에서는 두 가지를 먼저 구분한다. 첫째, 단면이 폐단면인지 개단면인지 판별한다. 둘째, 얇은 벽 이론이 적용되는지, 즉 두께가 단면 치수에 비해 충분히 작은지 확인한다. 이 두 판단이 있어야 전단응력과 비틀림 각을 올바른 식으로 구할 수 있다.

이 절에서 다룬 Bredt 식과 J 의 개념은 원형 강관과 각형 강관을 같은 조건에서 비교할 때 그대로 쓰인다. 계산 예제는 8절에서 다룬다.

4. 구성요소·원리·절차

속빈 단면 비틀림은 순수 비틀림(St. Venant 비틀림)을 받는 폐단면과 개단면으로 나뉜다. 폐단면은 Bredt 공식으로 전단흐름을 구하고, 개단면은 얇은 직사각형 띠를 합산하는 근사식을 쓴다. 두 경우 모두 축방향 뒤틀림(warping)이 구속되지 않는다고 가정한다.

폐단면의 Bredt 식은 다음과 같다. 전단응력은 벽 두께 전체에서 거의 일정하게 분포한다.

$\tau = \frac{T}{2A_m t}$

$\theta = \frac{T}{G\,J}\quad (\text{단위 길이당 비틀림각})$

여기서 \tau는 전단응력(MPa), A_m은 벽 중심선이 둘러싼 면적(mm²), t는 벽 두께(mm), G는 전단탄성계수(MPa), J는 비틀림 상수(mm⁴)다. 얇은 폐단면에서는 J \approx \dfrac{4A_m^2 t}{s} 로 근사한다.

폐단면은 Bredt 식, 개단면은 띠 합산으로 비틀림 상수를 구한다

개단면은 얇은 직사각형 띠 여러 개로 나누고 각 띠의 \dfrac{bt^3}{3} 을 더한다. 띠의 최대 전단응력은 두께 중심에서 가장 크다.

절차는 다음과 같다.

• 단면 형상을 폐단면 또는 개단면으로 구분한다.
• 벽 중심선 길이 s, 두께 t, 폐단면 면적 A_m 을 구한다.
• 비틀림 상수 J 를 구한다(원형은 \dfrac{\pi d^4}{32} 류, 얇은 관은 Bredt 근사).
• 전단응력 \tau = T/(2A_m t) 로 최대 응력을 계산한다.
• 비틀림각 \theta = TL/(GJ) 로 부재 길이 L 에 대한 회전각을 구한다.

순수 비틀림과 뒤틀림 구속의 차이를 구분해 쓴다. 구속 뒤틀림이 생기면 개단면의 강성이 크게 늘어난다.

5. 관련 법령·기준·표준

속빈 단면 비틀림은 법령 조문보다 구조역학 교재와 설계기준의 해석식에 의해 정해진다. 강구조 설계기준(KDS 14 계열)은 각형·원형 강관의 비틀림 강도를 다룬다. 기준값은 다음 표에 모은다.

개정 연혁은 강구조 설계기준의 한계상태설계 체계 전환 이후 공칭강도 식이 정비된 것이다. 구체적 조항 번호는 여기서 쓰지 않는다.

강구조 설계에서는 비틀림 강도를 응력 한계로 확인한다. 폐단면은 Bredt 식의 전단흐름으로 판정하고, 개단面은 뒤틀림 효과를 별도로 고려한다.

6. 유형과 비교

속빈 단면의 비틀림은 단면 형상에 따라 비틀림 강성과 전단응력 분포가 크게 달라진다. 같은 재료, 같은 두께, 같은 단면적이라도 폐단면과 개단면의 비틀림 거동 차이가 가장 크므로 먼저 구분한다.

폐단면은 벽 내부를 도는 전단흐름이 형성되어 비틀림 저항이 크다. 개단면은 전단흐름이 각 판에서 서로 상쇄되어 비틀림 저항이 작고, 그래서 얇은 개단면 부재는 뒤틀림 구속이 중요하다.

원형과 정방형 폐단면은 모두 얇은 벽 폐단면 식으로 다룬다. 같은 두께와 같은 단면적이면 둘레가 긴 원형 쪽이 비틀림 상수가 약간 크게 나온다는 점을 답안에 함께 쓴다.

7. 장단점·한계와 개선 방향

속빈 폐단면은 비틀림 강성이 크고 단면 효율이 높아 기둥, 간판 지지주, 교량 상부 상자형 거더에 널리 쓰인다. 단면 내부가 비어 있어 중량 대비 휨과 비틀림 강성을 함께 얻을 수 있다.

한계는 다음과 같다.