침하에 의한 반력

왜 배우는가: 지점침하는 실무에서 부정정 구조물의 잉여 반력을 바꾸고 부재 응력을 키우는 대표적 원인이라, 설계 검토 때 침하량에 따른 반력 변화를 바로 계산할 수 있어야 한다. 시험에서도 연속보 지점침하 문제가 1교시 계산형과 3교시 에너지법 논술형으로 반복해 출제되므로 개념과 풀이 흐름을 함께 익혀야 한다.

출제 이력: 제128회 1교시 3번, 제115회 3교시 6번

1. 한 줄 정의와 핵심 키워드

침하에 의한 반력은 부정정 구조물의 지점이 설계 위치에서 수직으로 내려앉을 때, 지점 간 변위 적합 조건을 만족시키도록 생기는 반력의 변화를 말한다.

지점침하로 생기는 반력은 변위 적합 조건으로 구한다

• 지점침하
• 부정정 구조물
• 잉여 반력
• 변위 적합 조건
• 처짐각법
• 카스틸리아노 정리
• 변형에너지

2. 개념 풀이

쉬운 말로 하면, 정정 구조물은 지점이 가라앉아도 반력이 바뀌지 않는다. 부정정 구조물은 지점이 가라앉으면 부재가 휘면서 반력이 재분배된다. 이 재분배량을 계산하는 것이 침하에 의한 반력 문제다.

정식으로는 부정정 구조물에서 지점의 강제 변위(침하량)를 주었을 때, 각 지점의 반력과 부재력이 구조물의 변형 적합 조건과 힘의 평형 조건을 함께 만족하도록 결정되는 것을 말한다. 부정정 차수는 미지 반력·내력의 개수 M에서 독립 평형방정식의 수 N을 뺀 값 M − N으로 정의된다.

핵심 용어를 풀이하면 다음과 같다.

지점침하는 지점이 설계 위치에서 벗어나 내려간 수직 변위를 뜻한다. 정정 구조물에서는 부재력을 바꾸지 않지만, 부정정 구조물에서는 부재력과 반력을 바꾼다.

잉여 반력은 평형 방정식만으로 정할 수 없는 여분의 반력이다. 침하에 의한 반력 문제는 이 잉여 반력을 변형 조건으로 찾는 과정이다.

변위 적합 조건은 지점에서 구조물의 처짐이 지점의 강제 변위와 같아야 한다는 조건이다. 예를 들어 B지점이 δ만큼 침하하면 B점의 처짐은 δ이어야 한다.

에너지법은 변형에너지를 반력에 대해 미분해 변위를 구하는 방법이다. 카스틸리아노 정리에 따르면 구조물의 변형에너지 U를 힘 P로 편미분한 값이 그 힘 방향의 변위가 된다. 침하 문제에서는 미지 반력을 변수로 두고, 침하 방향 변위가 주어진 δ와 같다는 식으로 반력을 구한다.

3. 등장 배경과 필요성

초기의 구조 해석은 정정 구조물을 중심으로 발전했다. 정정 구조물은 평형 방정식만으로 반력과 부재력이 정해져서 지점의 침하가 구조 응력에 영향을 주지 않는다. 그러나 교량과 대형 건축물이 연속화되면서 부정정 구조물의 사용이 늘었다.

부정정 구조물은 여분의 지지점과 연속 부재 덕분에 처짐과 응력이 작고, 과하중이 걸려도 하중을 여분 지지점으로 재분배해 붕괴를 막는다. 그러나 지점을 많이 두면 기초 공사 비용과 시공 시간이 늘고, 지점마다 부등 침하가 생기면 내부 응력이 추가로 발생한다. 지반이 연약하거나 기초 침하가 예상되는 현장에서 이 문제가 특히 크다.

그래서 설계 단계에서 지점 침하량을 가정하고 그에 따른 반력 변화를 계산해야 한다. 기술사 시험에서 침하 문제가 반복되는 이유도 여기에 있다. 평형 방정식만으로 풀리지 않는 문제를 변형 조건으로 확장해 푸는 능력을 묻기 때문이다.

부정정 차수 M − N

부정정 차수 M − N이 1 이상이면 지점 침하가 반력을 바꾸므로, 침하 문제에서는 이 차수만큼 변형 조건을 세운다.

4. 구성요소·원리·절차

지점침하에 의한 반력 해석은 부정정 차수와 적합 조건으로 이루어진다. 침하가 생겨도 정정 구조는 반력이 변하지 않는다. 침하가 반력을 만드는 것은 여분의 구속이 있는 부정정 구조에 한정된다.

침하 지점의 반력은 강성에 비례해 분배된다. 한 지점이 침하하면 그 지점의 구속이 풀리는 방향으로 보가 변형한다. 이 변형을 되돌리려는 힘이 반력이다. 따라서 침하 반력의 크기는 침하량에 비례하고, 부재 휨강성이 클수록 커진다.

침하에 의한 반력은 부정정 차수만큼의 여분 반력을 침하 적합식으로 구하는 것이다

에너지법(카스틸리아노 제2정리)에서도 같은 결과가 나온다. 여분 반력에 대한 변형에너지의 편미분이 0이라는 조건(최소일 원리)을 쓰면, 적합식과 동일한 식을 얻는다. 여분 반력에 대한 자기 유연도(flexibility) f 와 침하 적합식은 다음과 같다.

$X = \dfrac{\delta - \delta_0}{f}$

• X: 여분 반력(N 또는 kN), \delta: 여분 지점의 침하량(mm), \delta_0: 여분 반력을 제거한 정정 기본구조의 해당 점 변위(mm), f: 여분 방향 단위하중에 의한 변위 계수(mm/N)

양단 고정 부재에서 한쪽 단이 상대침하 δ 를 받으면 고정단 모멘트가 생긴다. 처짐각법에서 이 값은 다음과 같다.

$M_{F} = \dfrac{6EI\,\delta}{L^{2}}$

• M_F: 침하에 의한 고정단 모멘트(N·mm), E: 탄성계수(N/mm²), I: 단면2차모멘트(mm⁴), \delta: 상대침하량(mm), L: 부재 길이(mm)

해석 절차는 다음과 같다.

• 평형 방정식으로 부정정 차수를 구한다. 보에서는 반력 수에서 3을 뺀 값이다.
• 여분 반력을 하나 선택해 제거하여 정정 기본구조를 만든다.
• 기본구조에 하중을 가했을 때 여분 방향 변위 \delta_0 와 단위 여분 반력에 의한 변위 f 를 구한다.
• 적합 조건 \delta_0 + fX = \delta 를 세워 X 를 구한다.
• 구한 X 를 기본구조에 작용시키고 평형식으로 나머지 반력과 부재력을 구한다.
• 침하 방향과 반력 방향의 부호를 맞추고 평형을 점검한다.

단순화하면 단일 여분 반력인 경우 X 는 침하량과 유연도의 비로 정해진다. 이 관계를 이해하면 연속보의 여러 지점 침하도 같은 방법을 반복해 풀 수 있다. 여러 지점이 동시에 침하하면 적합식을 지점 수만큼 세워 연립으로 푼다.

5. 관련 법령·기준·표준

지점침하 해석 자체는 구조역학의 일반 이론이며 특정 법령의 수치를 직접 쓰지 않는다. 설계 실무에서는 「건축법」에 따른 건축구조기준(2016)과 그 하위 설계기준(KDS 체계)을 따른다. 기준은 기초 침하량과 부등침하 허용 한도를 정하고, 역학 해석은 그 한도를 검토하는 수단으로 쓴다. 해석 결과는 허용 침하량을 넘지 않도록 설계에 반영된다.

건축구조 설계에서 확인할 기준 값은 해석 조건의 재료·단면 값이다. 문항 조건인 탄성계수와 단면2차모멘트에서 휨강성 EI 를 구한다. 기준값과 계산식은 다음 표로 정리한다.

표의 첫 행은 해석 입력값이다. 고정단 모멘트 식은 부재 길이와 침하량의 제곱 관계를 나타낸다. 부정정 차수는 여분 반력의 개수를 결정하므로 적합식의 개수와 일치한다.

계산 확인 예로 EI = 21000 \times 2.88\times10^{7} = 6.048\times10^{11}\,\text{N·mm}^2 이다. 결과의 자릿수가 연속보 휨강성의 상식 범위에 있는지 확인한다.

계산값의 단위는 SI 기준(N, mm)으로 통일한다. 침하량과 부재 길이는 mm 단위로 대입한다.

6. 유형과 비교

지점침하를 받는 부정정보는 해석 방법에 따라 결과를 얻는 경로가 다르다. 처짐각법, 모멘트분배법, 최소일법(에너지법)은 같은 구조물에서 같은 반력을 준다. 방법마다 미지수 설정과 계산 부담이 달라 시험에서는 문제 조건에 맞는 방법을 골라야 한다.