변단면 부정정보 해석

왜 배우는가: 변단면 부정정보는 단면2차모멘트가 위치에 따라 변하는 보를 다루므로 등단면 공식을 그대로 쓸 수 없다. 실무에서는 테이퍼 보, 노치 부재, 변단면 기둥의 처짐과 부재력을 검토할 때 이 해석이 필요하다. 시험에서는 재단고정모멘트와 처짐을 구하는 계산형 문항으로 반복 출제된다.

출제 이력: 제98회 4교시 4번, 제90회 2교시 5번

1. 한 줄 정의와 핵심 키워드

변단면 부정정보 해석은 단면2차모멘트가 부재축 방향으로 변하는 보를 탄성곡선 미분방정식이나 적합조건으로 풀어 반력과 부재력을 구하는 방법이다.

핵심 키워드

• 변단면 부재: 단면2차모멘트 I(x)가 위치에 따라 달라지는 부재
• 휨강성(EI): 부재 저항의 척도, 변단면에서는 EI(x)로 표현
• 재단고정모멘트: 양단 고정 보의 단부에 생기는 반력 모멘트
• 탄성곡선 미분방정식: EI(x)\,y''=M(x) 형태의 지배방정식
• 부정정차수: 필요한 추가 적합조건의 수
• 최소일의 원리(카스틸리아노 정리): 부정정력을 변형에너지 최소 조건으로 구하는 방법
• 단위하중법: 가상일 원리로 특정 점의 처짐을 구하는 방법

2. 개념 풀이

쉬운 말로 하면, 보의 굵기가 중간에서 바뀌면 같은 모멘트를 받아도 휨에 버티는 힘이 자리마다 다르다. 그래서 등단면 보에 쓰는 공식을 그대로 적용하면 틀린 값이 나온다.

정식 정의는 다음과 같다. 변단면 부정정보 해석은 휨강성 EI(x)가 축 방향 좌표 x의 함수인 보에서, 평형조건만으로 결정되지 않는 반력을 탄성곡선 미분방정식과 변형 적합조건을 함께 적용하여 구하는 과정이다.

핵심 용어를 풀면 다음과 같다.

휨강성은 부재의 재료 탄성계수 E와 단면2차모멘트 I의 곱 EI이다. 등단면 부재에서는 상수이지만 변단면 부재에서는 x에 따라 변하는 함수가 된다.

재단고정모멘트는 양단이 회전과 이동이 모두 구속된 보에 하중이 작용할 때 단부에 생기는 모멘트다. 변단면에서는 EI(x)의 분포가 값에 직접 영향을 준다.

탄성곡선 미분방정식은 \dfrac{d^2y}{dx^2}=\dfrac{M(x)}{EI(x)} 이다. 이 식을 경계조건과 함께 적분하면 처짐과 처짐각을 얻는다.

모멘트 면적법은 M/EI 도의 면적과 모멘트로 처짐각과 처짐을 구하는 방법이다. 변단면에서는 M/EI 도가 곡선이 되므로 면적과 도심을 직접 구해야 한다.

3. 등장 배경과 필요성

등단면 보의 해석법은 단면이 일정하다는 가정 위에 만들어졌다. 실제 구조물에서는 테이퍼 보, 노치가 있는 부재, 지붕 경사에 맞춘 보, 기둥 상하부 단면이 다른 변단면 부재가 많다.

변단면을 등단면으로 단순화하면 강성이 과대 또는 과소 평가되어 처짐과 단부 모멘트가 틀어진다. 특히 단부 모멘트는 설계 단면과 접합부 설계에 직접 쓰이므로 정확도가 중요하다.

이 때문에 변단면 부정정보는 두 가지 방향으로 발전했다. 하나는 I(x)를 수식으로 두고 미분방정식을 직접 푸는 방법이고, 다른 하나는 M/EI 도를 가상하중으로 보고 면적과 모멘트를 구하는 방법이다. 시험에서는 두 방법 중 문항이 요구하는 쪽을 선택하여 풀어야 한다.

또한 부정정 해석은 지점 침하, 온도 변화, 제작 오차의 영향까지 포함해야 실무에 쓸 수 있다. 본 절의 계산은 주로 하중만 작용하는 경우를 다룬다.

4. 구성요소·원리·절차

변단면 부정정보 해석은 휨강성의 위치 변화, 휨 관계식, 여분 반력의 세 요소로 이루어진다. 등단면 보와 달리 휨강성 EI가 위치 x의 함수이므로, 곡률과 모멘트의 관계를 구간마다 따로 세워야 한다.

위 표의 I(x)는 보의 높이나 폭이 변하는 경우 위치의 함수로 세운다. 경계조건은 고정단 두 곳에서 처짐과 회전각이 0이라는 조건이며, 이 조건이 여분 반력을 정하는 식이 된다.

휨 관계는 곡률 κ(x)를 이용해 다음과 같이 쓴다.

$\kappa(x) = \frac{M(x)}{E \, I(x)}$

여기서 κ는 곡률(1/m), M은 휨모멘트(N·m), E는 탄성계수(MPa), I(x)는 단면2차모멘트(m⁴)다. 곡률은 처짐의 2계 도함수와 같으므로, 이 식을 적분하면 처짐각과 처짐이 얻어진다. 식에서 EI가 분모에 있으므로 강성이 작은 구간의 곡률이 크게 나타난다는 점을 답안에 함께 적는다.

양단 고정보는 3차 부정정이다. 고정단 모멘트 M_A, M_B를 여분력으로 두면, 한쪽 고정단의 회전각이 0이라는 조건식으로 여분력을 구한다. 최소일법을 쓰면 다음 조건을 세운다.

$\int_0^L \frac{M(x)}{E \, I(x)} \cdot \frac{\partial M(x)}{\partial M_A} \, dx = 0$

여기서 L은 보의 경간(m), M(x)는 여분력을 포함한 휨모멘트 식이다. 이 식은 고정단 회전각 0 조건이 여분 모멘트를 정한다는 원리를 식으로 옮긴 것이다.

중앙점 처짐은 단위하중법으로 구한다. 중앙점에 단위 집중하중을 가한 상태의 모멘트 m(x)를 쓰면 처짐 δ는 다음과 같다.

$\delta = \int_0^L \frac{M(x) \, m(x)}{E \, I(x)} \, dx$

절차는 다음 순서로 진행한다.

• 단면 함수 I(x)를 구간별로 세운다.
• 고정단 모멘트 M_A, M_B를 미지수로 두고 M(x)를 쓴다.
• 고정단 회전각이 0이라는 조건식을 최소일법으로 세운다.
• M_A, M_B를 구하고 M(x)를 확정한다.
• 반력은 평형식으로 구하고, 단위하중법으로 중앙점 처짐을 계산한다.
• 대칭성과 단위(kN·m, mm)를 점검하여 결과를 확인한다.

계산 중 M/EI 도를 가상 하중으로 하는 탄성하중법을 쓰면 처짐각과 처짐을 면적 모멘트로 바꿔 구할 수 있다. 단 변단면에서는 M(x)/EI(x)를 위치 함수로 적분해야 하므로 적분 구간을 나누는 것이 계산의 핵심이다.

5. 관련 법령·기준·표준

변단면 부정정보의 해석 방법 자체는 구조역학의 기본 해법이며, 건축 실무에서는 해석 결과를 설계기준의 한계값과 비교하여 검토한다. 건축 구조설계는 건축법의 건축구조기준 체계를 따르며, 설계기준은 KDS 코드 체계로 운영된다. 기준은 부재의 응력과 처짐 한계를 제시하고, 변단면 해석법은 역학 기본 해를 쓴다.

기준값은 다음 표와 같이 정리한다. 등단면 기본 해는 변단면 결과와 비교하는 기준으로 쓴다.

표의 첫 두 항목은 등단면의 기본 해로, 변단면 결과가 같은 하중 조건에서 어떻게 달라지는지 비교하는 기준이 된다. 단면2차모멘트 식은 직사각형 단면에서 변단면을 세울 때 I(x)의 출발점이 된다. 고정단모멘트 값은 하중 조건이 같을 때 부정정 해석 결과의 대략적 크기를 가늠하는 데 쓴다.