탄소성 휨응력분포

왜 배우는가: 탄성 휨응력 공식은 응력이 항복점을 넘으면 적용되지 않는다. 보가 소성 영역으로 들어가는 과정의 응력 분포를 이해해야 소성모멘트와 소성설계의 근거를 설명할 수 있다. 건축구조기술사 시험에서 탄성 한계 이후의 휨 거동을 묻는 문제로 반복해 출제된다.

출제 이력: 제128회 3교시 4번, 제92회 3교시 1번

1. 한 줄 정의와 핵심 키워드

답안 첫 줄 정의 문장:

탄성 휨응력 공식이 성립하지 않는 범위에서 단면의 일부가 항복하여 응력이 선형으로 분포하지 않는 휨 상태를 탄소성 휨응력분포라 한다.

핵심 키워드

• 탄소성 휨
• 항복모멘트(My)
• 소성모멘트(Mp)
• 소성단면계수(Zp)
• 소성중립축
• 탄성-완전소성 거동
• 곡률(curvature)
• 잔류응력

2. 개념 풀이

쉬운 말로 하면, 보에 큰 휨이 걸리면 단면의 바깥쪽(연단)부터 먼저 항복한다. 안쪽은 아직 탄성 상태다. 그래서 응력이 중립축에서 직선으로 늘어나다가 항복점에서 꺾인 모양이 된다.

정식 정의는 다음과 같다. 탄소성 휨은 단면의 일부가 항복응력 Fy에 도달하고 나머지는 탄성 상태인 휨 거동이다. 이때 응력분포는 탄성 부분에서는 중립축으로부터 거리에 비례하고, 항복 부분에서는 항복응력과 같은 일정 값을 가진다. 평면 보기 가정(Bernoulli 가정)은 그대로 유지된다. 따라서 변형률은 여전히 중립축 거리에 비례한다.

탄성 휨 공식은 다음과 같다.

$\sigma = \frac{M y}{I}, \quad \frac{\sigma}{y} = \frac{E}{R}$

여기서 \sigma는 거리 y에서의 휨응력(MPa), M은 휨모멘트(N·mm), I는 단면2차모멘트(mm⁴), E는 탄성계수(MPa), R은 곡률반경(mm)이다. 이 식은 응력이 항복점 아래에 있을 때만 성립한다.

탄성 한계는 연단 응력이 항복응력에 처음 닿는 상태다. 이때 모멘트를 항복모멘트 M_y = \sigma_y \cdot S로 쓴다. 여기서 S는 탄성단면계수다. 모멘트를 더 키우면 단면 안쪽으로 항복 영역이 퍼진다.

완전 소성 상태는 단면 전체가 항복응력에 도달한 상태다. 이때 모멘트를 소성모멘트 M_p = \sigma_y Z_p라 한다. 여기서 Z_p는 소성단면계수로, 인장 측 면적과 압축 측 면적이 같아지는 소성중립축 상하 단면적의 중립축에 대한 1차 모멘트다.

탄성-완전소성 거동은 응력이 항복점까지는 선형으로 증가하고, 그 뒤에는 변형이 늘어나도 응력이 일정한 것으로 보는 이상화 모델이다. 강재 보의 휨 해석에서 가장 많이 쓰는 가정이다.

잔류응력은 외력을 제거한 뒤에도 단면에 남는 응력이다. 소성 영역에서 하중을 풀면 탄성 영역이 먼저 되돌아오면서 소성 변형이 남는다. 그래서 단면에는 인장과 압축의 잔류응력이 생긴다.

3. 등장 배경과 필요성

탄성 설계는 연단 응력이 항복응력을 넘지 않도록 단면을 잡는다. 이 방식은 안전하지만 단면 중심부의 재료를 충분히 쓰지 못한다. 강재 보는 연성이 커서 항복 후에도 추가 하중을 견딘다. 이 여유를 설계에 쓰기 위해 소성 휨 개념이 등장했다.

소성 휨은 1900년대 초 소성이론의 발전과 함께 정리됐다. 이후 강구조 설계는 소성모멘트를 기준으로 한 방식을 채택했다. 탄소성 응력분포를 이해하면 항복 이후의 단면 강도와 잔류 변형을 함께 설명할 수 있다.

연성 재료에서는 탄성 한계 모멘트보다 소성모멘트가 크다. 그 비율을 형상계수라 하며, 형상계수의 값은 단면 모양에 따라 정해진다. 형상계수는 단면 모양이 소성 여유를 얼마나 주는지 보여준다.

4. 구성요소·원리·절차

탄성-완전소성(Elastic-Perfectly Plastic) 휨 거동은 단면을 두 영역으로 나눠 본다. 중립축 가까운 쪽은 탄성 영역이고 바깥쪽은 항복응력에 도달한 소성 영역이다. 두 영역의 경계는 항복 경계(yield boundary)라 부르고, 그 위치는 단면의 항복 모멘트와 소성 모멘트 사이 값에 따라 정해진다.

표는 단면 구성 요소를 정리한 것이다. 탄성 코어는 탄성 단면계수로 저항하고, 소성 외곽은 항복응력이 만드는 우력으로 저항한다.

탄성 한계 모멘트는 연단 응력이 항복응력에 처음 도달할 때의 모멘트다. 사각형 단면에서 식은 다음과 같다.

$M_y = \sigma_y \, S = \sigma_y \frac{bh^2}{6}$

여기서 b 는 단면 폭(mm), h 는 단면 높이(mm), S 는 탄성 단면계수(mm³), \sigma_y 는 항복응력(MPa)이다.

모멘트가 M_y 를 넘으면 소성 영역이 중립축 쪽으로 퍼진다. 항복 경계의 높이를 y_p 라 하면 그 아래 탄성 코어의 응력은 선형이다. 소성 영역의 응력은 \pm\sigma_y 로 일정하다. 이때 모멘트는 다음과 같다.

$M = \sigma_y \, b \, y_p^2 \left(\frac{3}{2} - \frac{2}{3}\cdot\frac{y_p^2}{h^2}\cdot\frac{4}{4}\right)\cdot\frac{1}{1}$

위 식은 y_p 에 따른 모멘트의 관계를 보이기 위한 형태다. 실무 계산에서는 탄성 코어 응력 분포를 적분하여 M 을 구하고, 항복 경계 위치를 역으로 찾는다.

완전 소성 상태에서는 전 단면이 \pm\sigma_y 에 도달하고 중립축이 단면의 중심에서 소성 중립축으로 이동한다. 이때의 저항 모멘트를 소성 모멘트라 하고, 식은 다음과 같다.

$M_p = \sigma_y \, Z = \sigma_y \frac{bh^2}{4}$

Z 는 소성 단면계수(mm³), M_p 는 소성 모멘트(N·mm)다. 사각형 단면의 형상계수는 M_p / M_y 로 정의되는 값이다.

완전 소성 상태에서 소성 모멘트는 탄성 한계 모멘트보다 커진다

다음은 탄성-완전소성 휨의 절차다.

• 단면의 탄성 단면계수 S 와 항복 모멘트 M_y = \sigma_y S 를 구한다.
• 작용 모멘트 M 이 M_y 이하이면 선형 응력으로 계산한다.
• M 이 M_y 를 넘으면 항복 경계 위치 y_p 를 가정하고 탄성 코어와 소성 외곽의 힘 평형을 맞춘다.
• 모멘트 평형식으로 M 을 구하여 작용 모멘트와 같아질 때까지 y_p 를 조정한다.
• 연단 응력과 곡률을 구하고, M_p 에 도달하면 완전 소성 상태로 판단한다.

곡률은 탄성 구간에서 \kappa = M/(EI) 로 쓴다. 소성 구간에서는 탄성 코어의 곡률만 남으므로 곡률이 급증한다. 따라서 탄성-완전소성 모델의 곡률은 항복 곡률 \kappa_y = \sigma_y/(E\,c) 를 기준으로 비선형으로 커진다.

항복 경계와 소성 중립축은 힘 평형으로 정해진다. 인장 합력과 압축 합력의 크기가 같아야 하므로 소성 중립축은 단면의 면적을 이등분한다.

5. 관련 법령·기준·표준

휨 거동의 설계 기준은 국내외 강구조 기준에 나온다. 국내에서는 건축구조기준(KDS)의 강구조 설계 편과 강구조 설계 기준을 따른다. 소성 설계는 소성 힌지(plastic hinge)가 형성된 상태를 한계 상태로 본다. 기준은 단면을 조밀 단면(compact section), 비조밀 단면, 세장 단면으로 분류하고, 조밀 단면에만 소성 모멘트를 허용한다.

표의 값은 사각형 단면과 탄성-완전소성 가정에 대한 것이다. 강재 설계의 세부 폭두께비 한계는 설계 기준 표에서 확인하며, 조밀 단면 조건을 만족해야 M_p 를 설계 휨강도로 쓸 수 있다.