골조 고유진동수 및 전단력

왜 배우는가: 골조의 고유진동수와 층 전단력은 내진·내풍 설계에서 동적 응력의 크기와 구조 강성 배분을 결정한다. 기술사 시험에서는 단자유도 근사식과 다층 전단건물의 고유진동수 문제로 반복 출제되므로 개념과 계산 절차를 함께 익혀야 한다.

출제 이력: 제115회 4교시 4번, 제92회 4교시 1번

1. 한 줄 정의와 핵심 키워드

골조의 고유진동수는 질량과 강성으로 결정되는 자유진동의 주파수이고, 층 전단력은 층 위에 작용하는 수평력의 합이다. 답안 첫 줄에는 다음 정의를 쓴다.

골조 고유진동수는 질량과 강성으로 정해지는 자유진동의 고유 주파수이며, 층 전단력은 수평력의 누적합이다.

핵심 키워드

• 고유진동수(natural frequency)
• 횡강성(lateral stiffness)
• 층 전단력(story shear)
• 전단형 건물(shear building)
• 밑면 전단력(base shear)
• 고유주기(natural period)
• 질량참여계수(mass participation factor)

2. 개념 풀이

쉬운 말로 하면, 건물을 흔들었을 때 스스로 흔들리는 빠르기가 고유진동수다. 빠르게 흔들리면 진동수가 크고, 무거우면 진동수가 작아진다. 정식 정의는 질량행렬 M과 강성행렬 K로 쓴 고유치 문제 (K-\omega^2 M)\phi=0의 고유치 \omega를 진동수로 보는 것이다.

고유진동수는 \omega = \sqrt{k/m} (단위 rad/s), f=\omega/2\pi (단위 Hz)로 구한다. 단자유도계에서는 질량 m(kg)과 강성 k(N/m)만 있으면 된다.

횡강성은 층 간 상대변위 1단위를 만드는 데 필요한 수평력이다. 기둥이 양단 고정이면 1층 기둥 하나의 횡강성은 k=12EI/h^3로 쓴다(E: 탄성계수, I: 단면2차모멘트, h: 층고). 보가 강하면 기둥 단부 회전이 구속되어 k가 커진다.

층 전단력은 해당 층 위의 모든 층이 받는 관성력의 합이다. 지진 해석에서 층 전단력은 밑면에서 위로 갈수록 작아지는 계단 형태를 가진다.

핵심 용어 풀이

• 전단형 건물: 보가 무한히 강하다고 가정하여 층마다 수평 이동만 일어나는 모델이다.
• 밑면 전단력: 구조물 최하부에서 전달되는 전체 수평력으로, 모든 층 관성력의 합과 같다.

3. 등장 배경과 필요성

고층 건물과 경사지 건물이 늘면서 기둥 길이가 서로 다르고 강성 분포가 불균형한 골조가 많아졌다. 이 경우 한 기둥이 받는 전단력이 기둥마다 크게 달라진다. 따라서 고유진동수와 기둥별 전단력 분포를 함께 구해야 설계가 가능하다.

골조 해석에서도 같은 원리가 적용된다.

이 때문에 기둥 강성 차이가 진동 특성과 층 전단력 분포에 직접 영향을 준다.

따라서 전단형 모델로 근사하는 것이 실무적으로 타당하다.

이 세 가지 배경을 알면 고유진동수를 구하는 이유와 기둥별 전단력을 나누는 이유를 함께 설명할 수 있다.

4. 구성요소·원리·절차

골조 고유진동수 계산의 출발점은 질량과 강성을 층별로 나누어 모델화하는 것이다. 다층 전단건물은 각 층의 횡강성을 층강성으로 묶어 1층부터 최상층까지 직렬로 연결한 다자유도계로 본다. 구성요소는 다음과 같다.

원리는 다음과 같다. 전단건물 가정에서 각 층 강성 k_i는 기둥 한 본의 횡강성 k_c를 합산한 값이다. 양단 고정(강접) 기둥의 횡강성은 k_c = \frac{12EI}{h^3}이고, 한쪽이 핀인 기둥은 k_c = \frac{3EI}{h^3}로 줄어든다. 여기서 E는 탄성계수(MPa), I는 단면2차모멘트(mm⁴), h는 층높이(mm)다.

강성과 질량으로 질량행렬 [M]과 강성행렬 [K]를 만들면 고유치 문제는 \left([K]-\omega^2[M]\right)\{\phi\}=\{0\}이다. 여기서 \omega는 고유원진동수(rad/s), \{\phi\}는 모드형상 벡터다. 고유진동수는 f=\frac{\omega}{2\pi}(Hz), 고유주기는 T=\frac{1}{f}(s)다.

계산 절차는 다음과 같다.

• 층별 질량 m_i와 층높이 h_i를 구한다.
• 기둥의 접합 조건(강접 또는 핀)에 따라 층강성 k_i를 구한다.
• 전단건물 모델의 질량행렬과 강성행렬을 세운다.
• 특성방정식 \det([K]-\omega^2[M])=0을 풀어 \omega_1을 구한다.
• f_1=\omega_1/2\pi로 기본 고유진동수를 계산한다.
• 층 전단력은 모드형상과 질량의 곱에서 구하거나, 정적 등가 방법으로 층별 수평력을 구해 층전단력 V_i=\sum_{j\ge i}F_j로 합산한다.

전단력은 층 단위로 구한 뒤 각 기둥에 강성비로 배분한다. 기둥 j의 전단력은 V_{j}=V_i\cdot\frac{k_{cj}}{\sum k_{c}}로 쓴다. 기둥 간 강성이 다르면 강성이 큰 기둥이 더 큰 전단력을 받는다.

층강성 개념과 강접·핀 접합의 차이를 답안에 명확히 쓴다. 수평변위가 주어지면 k = \frac{V}{\delta}로 층강성을 역산할 수 있다.

다층 골조의 고유진동수는 질량행렬과 강성행렬의 고유치 문제로 구한다

5. 관련 법령·기준·표준

고유진동수와 전단력 계산의 근거는 구조역학 이론과 설계기준의 동적해석 규정이다. 국내에서는 건축구조기준 체계의 「건축구조기준(KDS)」 동적해석 조항을 따른다. 구체적인 조문 번호는 확인된 경우에만 쓴다.

강접 기둥 12EI/h^3, 핀 기둥 3EI/h^3

기준 수치는 설계기준 원문으로 대조한다. 외국 기준은 이름만 언급하며 개념 차이는 ASCE 7의 등가정적법과 Eurocode 8의 모드해석 개념을 비교하는 정도로 다룬다.

6. 유형과 비교

골조 고유진동수와 층 전단력을 구할 때 골조는 강성 배치에 따라 전단형과 굴곡형으로 나뉘고, 기둥의 접합 조건과 최하층 지지 조건에 따라 강성이 달라진다. 설계 실무에서는 두 거동 유형을 구분해 대략의 고유진동수를 먼저 판단한다.

위 표는 전단형 가정에서 층 강성이 기둥 강성의 합으로 결정됨을 보인다. 기둥이 강접이고 보가 충분히 강하면 각 층 기둥의 12EI/h^3 합이 층 횡강성이 된다.