2024학년도 수능 기하 기출문제
2024학년도 수능 기하 기출문제입니다. 수학 제2교시 30문항, 100점, 100분입니다. 25문항의 발문과 선지를 싣고, 그림·지문·자료와 함께 봐야 하는 문항은 번호만 안내합니다. 정답·해설은 앱에서 볼 수 있습니다.
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1번\sqrt[3]{24}\times 3^{\frac{2}{3}} 의 값은?
- ①6
- ②7
- ③8
- ④9
- ⑤10
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2번함수 f(x)=2x^3-5x^2+3 에 대하여 \displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{f(2+h)-f(2)}{h} 의 값은?
- ①1
- ②2
- ③3
- ④4
- ⑤5
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3번\dfrac{3}{2}\pi<\theta<2\pi 인 \theta 에 대하여 \sin(-\theta)=\dfrac{1}{3} 일 때, \tan\theta 의 값은?
- ①-\dfrac{\sqrt{2}}{2}
- ②-\dfrac{\sqrt{2}}{4}
- ③-\dfrac{1}{4}
- ④\dfrac{1}{4}
- ⑤\dfrac{\sqrt{2}}{4}
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4번함수 f(x)=\begin{cases} 3x-a & (x<2) \\ x^2+a & (x\ge 2) \end{cases} 가 실수 전체의 집합에서 연속일 때, 상수 a 의 값은?
- ①1
- ②2
- ③3
- ④4
- ⑤5
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5번다항함수 f(x) 가 f'(x)=3x(x-2),\quad f(1)=6 을 만족시킬 때, f(2) 의 값은?
- ①1
- ②2
- ③3
- ④4
- ⑤5
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6번등비수열 \{a_n\} 의 첫째항부터 제 n 항까지의 합을 S_n 이라 하자. S_4-S_2=3a_4,\quad a_5=\dfrac{3}{4} 일 때, a_1+a_2 의 값은?
- ①27
- ②24
- ③21
- ④18
- ⑤15
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7번함수 f(x)=\dfrac{1}{3}x^3-2x^2-12x+4 가 x=\alpha 에서 극대이고 x=\beta 에서 극소일 때, \beta-\alpha 의 값은? (단, \alpha 와 \beta 는 상수이다.)
- ①-4
- ②-1
- ③2
- ④5
- ⑤8
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8번삼차함수 f(x) 가 모든 실수 x 에 대하여 xf(x)-f(x)=3x^4-3x 를 만족시킬 때, \displaystyle\int_{-2}^{2}f(x)\,dx 의 값은?
- ①12
- ②16
- ③20
- ④24
- ⑤28
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9번수직선 위의 두 점 \mathrm{P}(\log_5 3), \mathrm{Q}(\log_5 12) 에 대하여 선분 \mathrm{PQ} 를 m:(1-m) 으로 내분하는 점의 좌표가 1일 때, 4^m 의 값은? (단, m 은 0<m<1 인 상수이다.)
- ①\dfrac{7}{6}
- ②\dfrac{4}{3}
- ③\dfrac{3}{2}
- ④\dfrac{5}{3}
- ⑤\dfrac{11}{6}
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10번시각 t=0 일 때 동시에 원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 두 점 P, Q의 시각 t\ (t\ge 0) 에서의 속도가 각각 v_1(t)=t^2-6t+5,\quad v_2(t)=2t-7 이다. 시각 t 에서의 두 점 P, Q 사이의 거리를 f(t) 라 할 때, 함수 f(t) 는 구간 [0,a] 에서 증가하고, 구간 [a,b] 에서 감소하고, 구간 [b,\infty) 에서 증가한다. 시각 t=a 에서 t=b 까지 점 Q가 움직인 거리는? (단, 0<a<b)
- ①\dfrac{15}{2}
- ②\dfrac{17}{2}
- ③\dfrac{19}{2}
- ④\dfrac{21}{2}
- ⑤\dfrac{23}{2}
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12번함수 f(x)=\dfrac{1}{9}x(x-6)(x-9)와 실수 t\ (0<t<6)에 대하여 함수 g(x)는 g(x)=\begin{cases} f(x) & (x<t) \\ -(x-t)+f(t) & (x\ge t)\end{cases} 이다. 함수 y=g(x)의 그래프와 x축으로 둘러싸인 영역의 넓이의 최댓값은? [4점]
- ①\dfrac{125}{4}
- ②\dfrac{127}{4}
- ③\dfrac{129}{4}
- ④\dfrac{131}{4}
- ⑤\dfrac{133}{4}
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14번두 자연수 a, b에 대하여 함수 f(x)=\begin{cases} 2x^3-6x+1 & (x\le 2) \\ a(x-2)(x-b)+9 & (x>2)\end{cases} 이다. 실수 t에 대하여 함수 y=f(x)의 그래프와 직선 y=t가 만나는 점의 개수를 g(t)라 하자. g(k)+\lim_{t\to k-}g(t)+\lim_{t\to k+}g(t)=9 를 만족시키는 실수 k의 개수가 1이 되도록 하는 두 자연수 a, b의 순서쌍 (a,b)에 대하여 a+b의 최댓값은? [4점]
- ①51
- ②52
- ③53
- ④54
- ⑤55
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15번첫째항이 자연수인 수열 \{a_n\}이 모든 자연수 n에 대하여 a_{n+1}=\begin{cases} 2^{a_n} & (a_n\text{이 홀수인 경우}) \\ \dfrac{1}{2}a_n & (a_n\text{이 짝수인 경우})\end{cases} 를 만족시킬 때, a_6+a_7=3이 되도록 하는 모든 a_1의 값의 합은? [4점]
- ①139
- ②146
- ③153
- ④160
- ⑤167
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16번방정식 3^{x-8}=\left(\dfrac{1}{27}\right)^x을 만족시키는 실수 x의 값을 구하시오. [3점]
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17번함수 f(x)=(x+1)(x^2+3)에 대하여 f'(1)의 값을 구하시오. [3점]
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18번두 수열 \{a_n\}, \{b_n\}에 대하여 \sum_{k=1}^{10}a_k=\sum_{k=1}^{10}(2b_k-1),\qquad \sum_{k=1}^{10}(3a_k+b_k)=33 일 때, \sum_{k=1}^{10}b_k의 값을 구하시오. [3점]
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19번함수 f(x)=\sin\dfrac{\pi}{4}x라 할 때, 0<x<16에서 부등식 f(2+x)f(2-x)<\dfrac{1}{4} 을 만족시키는 모든 자연수 x의 값의 합을 구하시오. [3점]
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20번a>\sqrt2인 실수 a에 대하여 함수 f(x)를 f(x)=-x^3+ax^2+2x 라 하자. 곡선 y=f(x) 위의 점 \mathrm{O}(0,0)에서의 접선이 곡선 y=f(x)와 만나는 점 중 \mathrm{O}가 아닌 점을 \mathrm{A}라 하고, 곡선 y=f(x) 위의 점 \mathrm{A}에서의 접선이 x축과 만나는 점을 \mathrm{B}라 하자. 점 \mathrm{A}가 선분 \mathrm{OB}를 지름으로 하는 원 위의 점일 때, \overline{\mathrm{OA}}\times\overline{\mathrm{AB}}의 값을 구하시오. [4점]
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21번양수 a에 대하여 x\ge-1에서 정의된 함수 f(x)는 f(x)=\begin{cases} -x^2+6x & (-1\le x<6) \\ a\log_4(x-5) & (x\ge6)\end{cases} 이다. t\ge0인 실수 t에 대하여 닫힌구간 [t-1,t+1]에서의 f(x)의 최댓값을 g(t)라 하자. 구간 [0,\infty)에서 함수 g(t)의 최솟값이 5가 되도록 하는 양수 a의 최솟값을 구하시오. [4점]
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22번최고차항의 계수가 1인 삼차함수 f(x)가 다음 조건을 만족시킨다. 함수 f(x)에 대하여 f(k-1)f(k+1)<0 을 만족시키는 정수 k는 존재하지 않는다. f'\left(-\frac{1}{4}\right)=-\frac{1}{4},\quad f'\left(\frac{1}{4}\right)<0 일 때, f(8)의 값을 구하시오. [4점]
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23번좌표공간의 두 점 A(a,-2,6), B(9,2,b)에 대하여 선분 AB의 중점의 좌표가 (4,0,7)일 때, a+b의 값은?
- ①1
- ②3
- ③5
- ④7
- ⑤9
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24번타원 \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{6}=1 위의 점 (\sqrt{3},-2)에서의 접선의 기울기는? (단, a는 양수이다.)
- ①\sqrt{3}
- ②\frac{\sqrt{3}}{2}
- ③\frac{\sqrt{3}}{3}
- ④\frac{\sqrt{3}}{4}
- ⑤\frac{\sqrt{3}}{5}
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26번좌표공간에 평면 \alpha가 있다. 평면 \alpha 위에 있지 않은 서로 다른 두 점 A, B의 평면 \alpha 위로의 정사영을 각각 A′, B′이라 할 때, \overline{AB}=\overline{A'B'}=6이다. 선분 AB의 중점 M의 평면 \alpha 위로의 정사영을 M′이라 할 때, \overline{PM'}\perp\overline{A'B'}, \overline{PM'}=6이 되도록 평면 \alpha 위에 점 P를 잡는다. 삼각형 A′B′P의 평면 ABP 위로의 정사영의 넓이가 \frac{9}{2}일 때, 선분 PM의 길이는?
- ①12
- ②15
- ③18
- ④21
- ⑤24
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27번초점이 F인 포물선 y^2=8x 위의 한 점 A에서 포물선의 준선에 내린 수선의 발을 B라 하고, 직선 BF와 포물선이 만나는 두 점을 각각 C, D라 하자. \overline{BC}=\overline{CD}일 때, 삼각형 ABD의 넓이는? (단, \overline{CF}<\overline{DF}이고, 점 A는 원점이 아니다.)
- ①100\sqrt{2}
- ②104\sqrt{2}
- ③108\sqrt{2}
- ④112\sqrt{2}
- ⑤116\sqrt{2}
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29번양수 c에 대하여 두 점 F(c,0), F'(-c,0)을 초점으로 하고, 주축의 길이가 6인 쌍곡선이 있다. 이 쌍곡선 위에 다음 조건을 만족시키는 서로 다른 두 점 P, Q가 존재하도록 하는 모든 c의 값의 합을 구하시오. (가) 점 P는 제1사분면 위에 있고, 점 Q는 직선 PF′ 위에 있다. (나) 삼각형 PF′F는 이등변삼각형이다. (다) 삼각형 PQF의 둘레의 길이는 28이다.
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