確率・統計とデータの解釈

場合の数から確率へ

確率は、起こり得る事象に０から１までの値を割り当てる。個々の結果が同様に確からしいときは、求める事象に当てはまる場合の数を、全ての場合の数で割る。順番を区別するかを先に決め、分子と分母を同じ数え方でそろえる。条件付き確率では、条件を満たす結果に範囲を絞り、その中で目的の事象が起こる割合を求める。独立なら、片方が起きたと分かっても、もう片方の確率は変わらない。

複雑な数え上げでは、最初や最後の選択で、重なりのない場合に分ける。各場合を一段階小さい問題で表せるなら、漸化式を立てて小さい場合の値から順に求める。展示用の青い札２枚と白い札３枚から無作為に２枚取るとする。１枚目を戻さないなら、両方が青の確率は２／５×１／４＝１／１０。毎回戻して混ぜるなら２／５×２／５＝４／２５になる。取り方の違いが２回目の分母と分子に表れる。

分布と平均・分散

確率分布は、確率変数が取り得る値と、その確率の割り当てを表す。離散分布では対象となる値の確率を足し、正規分布のような連続分布では区間に対応する密度曲線の下の面積を使う。期待値は、値をその確率で重み付けした平均である。観測データの平均は、実際に得られた値の合計を個数で割って求める。母集団の分布と標本の集計値を区別すると、問題で与えられた数の役割が分かる。

分散は平均からのずれを二乗して平均した量で、平方根を取った標準偏差は元のデータと同じ単位になる。手元のデータの散らばりを記述するときは二乗偏差の和をデータ数で割る。独立な無作為標本から母分散を推定する不偏分散では、データ数から１を引いた数で割る。正規分布の境界を求めるには、境界より上か下かを図で押さえ、対応する標準化得点に標準偏差を掛けて平均を足す。上側と下側の確率の和は１であり、表の確率がどちら側かで読み取る境界が変わる。

期待値で選択を比べる

成果が不確実な選択では、どの結果にどの確率と利得が対応するかを並べる。努力を促す報酬の問題なら、努力の有無それぞれについて、報酬の期待値からその行動に伴う費用を引いて比較する。その後、そこで選ばれる行動の期待利得を、別の仕事などの外部選択肢と比べる。努力を選ぶ条件と、その仕事を引き受ける条件は別々に確かめる。

リスクを伴う金銭の選択では、金額の期待値と、各金額を効用に変えてから平均する期待効用を区別する。確実性等価額は、その確実な金額の効用がくじの期待効用と等しくなる額である。金額の期待値を基準にするリスク中立の買い手と、確実性等価額を基準にする売り手なら、取引価格は売り手の下限以上かつ買い手の上限以下に収まる。

共分散・相関・回帰

共分散は、二つの変数について、各観測値の平均からのずれを掛け合わせて平均した量である。散布図で右上がりの傾向なら正、右下がりの傾向なら負になる。絶対値は両変数の標準偏差の積以下である。相関係数は、両方の標準偏差が正のとき、共分散をその積で割った値で、マイナス１から１の範囲に収まる。相関係数がゼロでも、曲線で表せる関係が残ることがある。

回帰では、説明変数を使って目的変数の値を予測する。切片を含む単回帰の最小二乗法では、観測値と予測値の差の二乗和が最小になる直線を選ぶ。例えば、市民講座の受付窓口が１、２、３か所だった３回の平均待ち時間が、それぞれ１２、７、８分だったとする。３回分の平均は９分、分散は１４／３分²で、回帰直線の傾きは窓口１か所当たりマイナス２分になる。３か所の回では２か所の回より実際に長く待っており、傾きは全体の傾向を要約している。参加者数や到着時刻の偏りも待ち時間に関わるので、窓口を増やす効果を調べるには、条件のそろえ方や窓口数の割り当て方を検討する。