数式・関数と図形

関数と方程式

関数は、定義域の各入力にただ一つの出力を対応させる。定義域は入力できる値の集合で、値域は実際に出力される値の集合である。式を読むときは、分母がゼロになる値や、対数の中身が正にならない値を先に除く。途中で式を簡単にしても、最初の定義域は引き継ぐ。

方程式を解くとは、指定された範囲から等式を成り立たせる値をすべて求めることだ。恒等式は、その範囲のどの値でも成り立つ。両辺を二乗すると符号の情報が失われるため、得られた候補を元の式に戻して確かめる。文字を含む式で両辺を割るときは、その式がゼロになる場合を先に分けておく。

対数と微分

実数の範囲では、底 a が正で 1 と異なり、真数 x が正のとき、logₐ x = y と aʸ = x は同値である。自然対数 ln の底は e で、ln 1 = 0、ln e = 1 となる。正の関数で底と指数の両方が変化する場合は、両辺の自然対数を取ると、指数を積の形に移して微分できる。

微分係数は、入力の変化量をゼロに近づけたときの、出力の変化量と入力の変化量の比の極限である。グラフ上では、その点での接線の傾きになる。接線の式には傾きと接点の座標が要る。微分可能ならその点で連続である。逆向きには例外があり、絶対値関数は原点で連続だが、左右からの傾きが異なる。最大値を問われたら、導関数がゼロになる点に加えて、定義域に含まれる端点や微分できない点も調べる。導関数の符号が正から負へ変わる点では、その前後で増加から減少へ転じる。

数列と周期

一般項は項番号から値を直接求める式で、漸化式は先に求めた項から次の項を定める式である。漸化式では初期値と更新の順番を確認する。直前の二項で次が決まるなら、二項の組を一つの状態として追う。同じ状態に戻り、その先が同じ規則で一意に決まれば、以後は同じ並びが繰り返される。指定された項を探すときは、周期の長さに加えて、何番目から繰り返しが始まるかを確かめる。

三角比・座標・ベクトル

単位円上で角 θ に対応する点は (cos θ, sin θ) である。正接は sin θ / cos θ で、余弦がゼロの角では定義されない。角の和を正接から求める場合は、加法公式で値を出し、図形の条件から角の範囲を絞る。正接の値は半回転ごとに繰り返されるからだ。

座標は点の位置を示し、二点間の変位は終点の座標から始点の座標を引いて求める。ベクトルの内積は、対応する成分の積を足した値である。二つともゼロベクトルでなければ、内積がゼロであることと直交することは同値になる。空間では、平行でない二つの非零ベクトルが張る平面内のベクトルは、その二つの定数倍の和で表せる。三本のベクトルの一次結合をゼロにする係数の組が、全てゼロの組以外にもあるなら、三本は一次従属である。

回転と接線を計算する

展示台の目印が最初は (2, 0) にあり、記録するたびに原点の周りを反時計回りに 120° 回るとする。初回の位置を第1項とすると、第2項は (-1, √3)、第3項は (-1, -√3) で、第4項で最初の位置に戻る。上半平面にあるのは第2項から3項おきなので、第20項までに7回ある。また、第1項と第2項への位置ベクトルの内積は -2 で、長さはどちらも 2 だから、なす角の余弦は -1/2 である。