数理・統計の分析手法

数理・統計の分析手法は、システムの待ち時間や将来の動向、データの傾向を数量的に評価するための技法である。本単元では、待ち行列モデルによる性能評価、相関係数による関係の把握、専門家の意見や類似性を用いた分析手法を扱う。いずれも定義と数式を正確に理解し、どの場面にどの手法を当てはめるかを判断できることが求められる。

待ち行列モデルの原理と利用率

待ち行列モデルは、要求が到着し、それを窓口で処理するまでの待ちを確率的に表すモデルである。M/M/1と表記されるモデルは、到着がポアソン分布に従い、処理時間が指数分布に従い、窓口が1つで待ち行列の長さに制限がないことを前提とする。このモデルで中心となる指標が利用率ρであり、到着率λを処理率μで割った値として表される。利用率は窓口がどれだけ占有されているかを示し、1に近づくほど待ちが急増する性質をもつ。平均待ち時間の代表的な式は、待ち行列内での平均待ち時間をWqとすると、Wq = ρ/(μ−λ)で与えられる。分母のμ−λは処理能力に対する余裕の大きさを表しており、余裕が小さくなるほど待ちが長くなると理解すればよい。

平均処理時間がT秒の場合、処理率μは1/Tとなるため、待ち時間の式はWq = ρT/(1−ρ)と書き換えられる。この形から、待ち時間が平均処理時間Tと等しくなる条件を求めると、ρ/(1−ρ) = 1、すなわちρ = 0.5となる。このように待ち時間を処理時間の何倍かで表せば、利用率の閾値を読み取ることができる。伝票データを処理する窓口の問題では、平均待ち時間がT秒以上になるのは利用率が50%以上となるときであることが示される。

統合後の窓口における待ち時間

窓口の統合は、利用率の扱いを誤ると計算を誤る典型的な場面である。二つの窓口がそれぞれ利用率ρで稼働している場合、統合後の窓口には両方の到着が集まるため、統合後の利用率は2ρとなる。待ち時間は利用率と平均処理時間の両方に依存するため、統合後の平均処理時間Tsはそのまま保ち、利用率を2ρとして式に代入する。平均待ち時間にはサービス時間を含めないため、待ち時間の式はWq = 利用率 × Ts / (1−利用率)の形で扱う。統合後も処理できるという前提から、2ρは1未満でなければならず、この条件が式の成立の前提となる。統合前の1窓口分の利用率をそのまま用いたり、分母を統合前の値のままにしたりすると、到着負荷の増加が反映されない誤りになる。この点は試験で問われる典型的な論点である。