Kron 행렬축약

Kron 축약이란

Kron 행렬축약은 모선 어드미턴스 행렬에서 해석에 필요 없는 내부 모선을 소거하는 기법이다.

남은 모선만으로 등가 어드미턴스 행렬을 구한다. 조류계산 전 계통 간소화에 자주 쓰인다.

관심 없는 모선을 수식으로 없애고 외부 모선끼리의 등가 관계만 남기는 방법이다.

모선 분할과 Schur 보수

전체 모선을 외부 모선 E와 내부 모선 I로 나누면 행렬이 블록으로 나뉜다.

내부 모선에 주입 전류가 없으므로 I_I는 0이다. 키르히호프 전류 법칙에 따른 조건이다.

이 조건으로 내부 전압 V_I를 외부 전압 V_E로 표현할 수 있다.

이를 대입하면 외부 모선만의 등가 행렬이 남는다. 이것이 슈어 보수 형태의 식이다.

소거할 모선이 하나이면 Y_II는 스칼라이므로 역수는 1/Y_II로 계산한다.

3모선 예시 계산 순서

계산은 네 단계다. 먼저 Y 행렬을 남길 블록과 소거할 블록으로 나눈다.

소거할 모선이 하나이면 Y_22는 스칼라다. 그래서 역수는 1/Y_22로 구한다.

Y_12, 1/Y_22, Y_21을 곱하면 2×2 행렬이 된다. 이를 Y_11에서 빼면 등가 행렬이다.

곱셈 순서는 바꾸지 않는다. 행렬 곱은 교환법칙이 성립하지 않기 때문이다.

Y 행렬이 대칭이면 축약 후에도 대칭이 유지된다.

헷갈리는 점과 시험 포인트

앞 문제의 정답은 (n-1)×(n-1)이다. 남는 모선 수만큼 행렬이 작아진다.

첫 번째 실수는 소거 블록을 나누지 않는 것이다. Y_BB의 역행렬만 곱해야 한다.

두 번째는 곱셈 순서를 바꾸는 실수다. Y_AB, Y_BB⁻¹, Y_BA 순서를 지킨다.

세 번째는 대각 원소를 자기 어드미턴스로만 보는 실수다. 소거 모선의 결합도 포함된다.

채점에서는 정의, 공식, Y_BB 역행렬, 결과 크기와 대칭성을 함께 쓰는 것이 유리하다.

정적 축약 3종 비교

정적 축약 기법은 Kron, Ward, REI 세 가지로 대표된다.

Ward 축약은 Kron을 확장한 방식이다. 외부 계통을 경계 모선의 등가 전원으로 바꾼다.

REI 축약은 외부 부하와 발전기를 가상 노드 하나로 모은다. 이 방식은 근사 등가다.

축약은 정상상태 등가에만 쓰며, 과도 현상 해석에는 발전기 모델을 함께 고려해야 한다.

정리

정리하면, 모선을 남김과 소거로 나누고 Schur 보수 공식으로 등가 행렬을 구한다.

소거 모선이 하나면 Y_BB는 스칼라이므로 역수는 1/Y_BB다.

축약 결과는 전압 관계를 보존하며, 소거된 모선의 전압은 역대입으로 구한다.

시험에서는 정의, 공식, 역행렬, 결과 크기를 함께 적자.